¿Existen siempre multiplicaciones escalares múltiples sobre campos no primos?

Question

Dejemos que $F$ un campo no primo y $V$ un grupo abeliano y denotar por transposición una operación de multiplicación escalar $F \times V \to V$ haciendo $V$ en un espacio vectorial.

¿Existe siempre otra multiplicación escalar $\cdot: F \times V \to V$ que es distinta de la original que todavía hace $V$ en un espacio vectorial?

Tengo algunos resultados iniciales:

Es bastante fácil demostrar que si $F$ es primo, la multiplicación escalar está determinada de forma única. Por otro lado, es bastante fácil construir ejemplos en los que hay múltiples multiplicaciones escalares, por ejemplo, si $V$ es un espacio vectorial complejo, podemos hacer otra multiplicación escalar por $c \cdot v = \overline{c}v$ .

En general, si $K \subsetneq F$ y $F = K(\alpha)$ donde $\alpha$ es algebraico y tiene un conjugado de Galois $\beta$ podemos construir un automorfismo $\tau : (F, \alpha) \to (F, \beta)$ que preserva $K$ y utilizarlo para definir la multiplicación escalar $r \cdot v = \tau(r) v$ .

Los casos que no he resuelto son, por ejemplo $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ donde no tenemos ningún conjugado de Galois en nuestro campo.

Nota: Esta pregunta es no respondió aquí .

Answer 1

Sí, siempre que $V$ es distinto de cero. No necesitamos construir un automorfismo de $F$ ; si $\varphi : V \to V$ es cualquier automorfismo de $V$ (¡como grupo abeliano!) y $\rho : F \to \text{End}(V)$ es nuestra operación de multiplicación escalar original, entonces el conjugado puntual $\varphi \rho \varphi^{-1}$ es una multiplicación escalar distinta de la original a menos que $\rho(f) = \varphi \rho(f) \varphi^{-1}$ para todos $f \in F$ y siempre podremos arreglar que esto no sea cierto.

Prueba. Por hipótesis $F$ no es un campo primo, por lo que tiene dimensión al menos $2$ sobre su subcampo primo $k$ Por lo tanto $V$ es también un espacio vectorial de dimensión mínima $2$ sobre el subcampo primo $k$ . El anillo de endomorfismo $\text{End}(V)$ es entonces un álgebra matricial (posiblemente de dimensión infinita) sobre $k$ y en particular no sólo es no conmutativo sino que tiene centro $k$ (ejercicio). De ahí la acción de $F$ en $V$ por multiplicación escalar tiene imagen que no está en el centro, lo que significa que hay $\varphi \in \text{Aut}(V)$ que no conmuta con ella. $\Box$

Ejemplo. Dejemos que $F = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ actuando sobre sí mismo; de forma abstracta $\sqrt[3]{2}$ actos de algunos $3 \times 3$ matriz sobre $\mathbb{Q}$ con valores propios $\sqrt[3]{2}, \omega \sqrt[3]{2}, \omega^2 \sqrt[3]{2}$ y el argumento anterior sólo la conjuga con alguna otra matriz de este tipo en $M_3(\mathbb{Q})$ .