Teorema de desaparición de Serres III

Question

Estoy tratando de entender el Lema 29.3.1 .

Comenzamos con un esquema cuasi compacto. Entonces tenemos la siguiente construcción:

Dejemos que $X$ sea un esquema. $x \in X$ un punto cerrado, $U=Spec(A)\subseteq X$ una vecindad afín. $Z=X \setminus U, Z'=X \cup \{x \}$ . Hay gavillas cuasi-coherentes de ideales $I$ , $I'$ recortando $Z$ y $Z'$ . Dar el SES, $$0 \rightarrow I' \rightarrow I \rightarrow I/I' \rightarrow 0$$

En la línea 9 de la prueba se afirma que

$I/I'$ en $U$ corresponde a la $A$ -Módulo $A/m$ , donde $m$ es el ideal máximo en $A$ correspondiente a $x$ .

No entiendo por qué.

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Lo conocemos como presheaves, $I(U)=A, I'(U)=m$ . Pero $I/I'$ es la sheafifficación(?), ¿cómo sabemos $I/I'(U)=A/m$ ?

Answer 1

La respuesta corta es que, en un esquema afín, todo lo relacionado con una gavilla cuasicoherente está determinado por sus secciones globales. De hecho, toma el SES de gavillas mencionado en tu post y toma secciones sobre $U$ . Desde $U$ es afín, todas las cohomologías superiores desaparecen, por lo que se obtiene que $0\to I(U)\to I'(U) \to (I/I')(U) \to 0$ es exacta, lo que demuestra mediante el 5-lema que $(I/I')(U)\cong I(U)/I'(U)$ . Pero este último término es sólo $A/\mathfrak{m}$ .