Representación de exponenciales complejas con partes reales e imaginarias

Question

Mi confusión radica en esto : http://www.wolframalpha.com/input/?i=modulus+%28cos%282+pi+r_1%29%2Bcos%282+pi+r_2%29%2Bi+%28sin%282+pi+r_1%29%2Bsin%282+pi+r_2%29%29%29+squared

Estaba buscando representaciones alternativas, y me confundía cómo pasar de $|Exp(2\pi i R_1) + Exp(2\pi i R_2)|^2$ a una representación utilizando partes reales e imaginarias, como en el enlace.

Para aclarar la confusión: Yo estaba mirando $(-Im(\sin(2 \pi r_1))-Im(\sin(2 \pi r_2))+Re(\cos(2 \pi r_1))+Re(\cos(2 \pi r_2)))^2+(Im(\cos(2 \pi r_1))+Im(\cos(2 pi r_2))+Re(\sin(2 \pi r_1))+Re(\sin(2 \pi r_2)))^2$

Answer 1

Utilizando Fórmulas de prostaféresis

$$\cos2\pi r_1+\cos2\pi r_2=2\cos(r_1+r_2)\pi\cdot\cos(r_1-r_2)\pi$$

$$\sin2\pi r_1+\sin2\pi r_2=2\sin(r_1+r_2)\pi\cdot\cos(r_1-r_2)\pi$$

Así que usando $|x||y|=|xy|$ (donde $x,y$ son números complejos),

$$\left|\cos2\pi r_1+\cos2\pi r_2+i(\sin2\pi r_1+\sin2\pi r_2)\right|$$ $$=2|\cos(r_1-r_2)\pi|\cdot|\cos(r_1+r_2)\pi+i\sin(r_1+r_2)\pi|$$

Ahora bien, ¿qué es $|\cos\phi+i\sin\phi|=?$

Answer 2

Otra manera : $$F=\left|\cos A+\cos B+i(\sin A+\sin B)\right|$$

$$=\sqrt{(\cos A+\cos B)^2+(\sin A+\sin B)^2}$$

$$=\sqrt{2+2\cos(A-B)}$$

Uso del doble ángulo Fórmulas $\displaystyle \cos2A=2\cos^2A-1$ ,

$$F=\sqrt{2\cdot 2\cos^2\frac{A-B}2}=2\left|\cos\frac{A-B}2\right|$$

Answer 3

Quizá se me escapa algo, pero la respuesta parece que puede presentarse de forma mucho más sencilla que las otras dos respuestas.

Fórmula de Euler afirma que $$e^{ix} = \cos{x}+i\sin{x},$$ explicando la separación de una exponencial compleja en componentes reales e imaginarias. Así, para $$\left| e^{2\pi i r_1} + e^{2\pi i r_2} \right| ^2$$ expandimos las dos exponenciales complejas mediante la fórmula de Euler, resultando $$\left| \cos{(2\pi r_1)} + i\sin{(2\pi r_1)} + \cos{(2\pi r_2)} + i\sin{(2\pi r_2)}\right| ^2.$$ Obsérvese que si reordenamos los términos y factorizamos un $i$ nos quedamos con $$\left| \cos{(2\pi r_1)} +\cos{(2\pi r_2)} + i(\sin{(2\pi r_1)} + \sin{(2\pi r_2)})\right| ^2$$ que fue su entrada original en WolframAlpha. En este caso, la parte real es $$\cos{(2\pi r_1)} +\cos{(2\pi r_2)}$$ y la parte imaginaria es $$\sin{(2\pi r_1)} + \sin{(2\pi r_2)}.$$

En cuanto a la demostración de la fórmula de Euler, si te desplazas hacia abajo hasta donde dice "Usando series de potencias" en el enlace de la Wikipedia encontrarás la demostración que normalmente se encuentra primero en la secuencia de cálculo.