¿Existe un espacio métrico $(X,d)$ un conjunto compacto $K\subset X$ y un punto $x \in X$ tal que la distancia $d(x,K)$ NO se consigue en el límite?

Question

Aquí, estoy definiendo $d(x,K) = \inf_{z\in K} d(x,z)$ . Desde $d$ es continua y $K$ compacto, ellos hay un punto $z\in K$ tal que $d(x,K) = d(x,z)$ . Sé que si $(X,d)$ tienen la estructura de un Espacio de Longitud con $d$ intrínseca al funcional de longitud, entonces podemos demostrar fácilmente que $z \in \partial K$ . Mi pregunta es: si $(X,d)$ no tienen tal estructura, ¿puede ser esto falso? ¿Es posible tener un punto interior $z \in K$ ¿es el mínimo?

Me interesa más el caso de una bola cerrada en $X$ que es compacto por hipótesis. ¿Es posible construir una bola compacta cerrada en la que esto ocurra?

Muchas gracias.

Answer 1

Comience con $X$ obtenido de $\mathbb R^2$ eliminando el interior del cuadrado $[-1,+1] \times [-1,+1]$ : \begin{align*} X &= \{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid |x| \ge 1, |y| \ge 1\} \\ K &= [1,2] \times [-1,+1] \\ p &= (-1,0) \end{align*} El punto $q = (+1,0) \in K$ es el único punto de $K$ que minimice la distancia a $p$ . Pero $q$ es un punto interior de $K$ en el espacio $X$ .

Obsérvese que la distancia NO es intrínseca al funcional de longitud: la distancia entre $p$ y $q$ en $X$ es $2$ pero el camino más corto en $X$ de $p$ a $q$ tiene una longitud $4$ , rodeando la periferia de la plaza $[-1,+1] \times [-1,+1]$ .

En cuanto a tu pregunta sobre una bola cerrada, ¿quieres decir que quieres $K$ para ser una bola cerrada? Si es así, podemos modificar $K$ fácilmente: tomar $K$ para ser la bola cerrada en $X$ con centro $(1.1,0)$ y el radio $.2$ . En lugar de una forma rectangular como en el $K$ arriba, este $K$ sería el disco euclidiano cerrado con ese mismo centro y radio, con una porción cortada que está limitada por la cuerda donde ese disco interseca la línea $x=1$ . Todos los puntos interiores de esa cuerda, incluyendo $(+1,0)$ serán puntos interiores de $K$ .