Para aclarar, parece que estás tratando de encontrar la longitud de arco de $f(x) = \sin x$ en el intervalo $[0,\pi]$ . Esto hará que sea necesario evaluar la integral $\displaystyle \int_0^\pi \sqrt{1 + \cos^2 x} \, dx$ .
Así que querrás usar la regla de Simpson con $a = 0, b = \pi, h = \dfrac\pi6$ y $g(x) = \sqrt{1 + \cos^2 x}$ . (Estoy usando $g(x)$ ya que el nombre " $f$ " ya está tomada en mi propia explicación aquí: $f(x) = \sin x$ arriba).
Antes de poder utilizar la regla de Simpson, tendrá que ver cuántos subintervalos de $[0,\pi]$ que tienes. En otras palabras, necesitas encontrar $n$ . Normalmente utilizamos $n$ para encontrar $h$ pero esta vez se nos da $h$ . Es igual de fácil conseguir $n$ de $h$ . Podemos utilizar la misma ecuación: $$h = \frac{b-a}n$$ Ya sabemos $h$ , $b$ y $a$ . Así que tenemos: $$\frac\pi6 = \frac{\pi - 0}n$$ De esto se desprende que $n = 6$ . La regla de Simpson con $n=6$ aplicado aquí, dice lo siguiente: (Recordemos que $g(x) = \sqrt{1+\cos^2x}$ .)
$$\int_0^\pi g(x) \, dx \approx \frac h3\left[g(x_0) + 4g(x_1) + 2g(x_2) + 4g(x_3) + 2g(x_4) + 4g(x_5) + g(x_6)\right] \tag{*}$$
En lo anterior, $x_0 = 0$ , $x_1 = x_0 + h = \dfrac\pi6$ , $x_2 = x_1 + h = \dfrac\pi3$ y así sucesivamente. Le dejo a usted la tarea de encontrar $x_3, x_4, x_5, x_6$ y para evaluar el lado derecho de la ecuación (*) anterior.
En cuanto al resto, normalmente no es necesario encontrarlo a menos que se pida explícitamente. Por la forma en que has formulado tu pregunta, parece que no es necesario encontrarlo. Pero tal vez en tu clase se entienda que todas las respuestas de los métodos numéricos deben incluir los términos del resto/error; no lo sé. El error es, como has dicho, igual a $\displaystyle \frac {h^4}{180}(b-a) \max_{a \le x \le b} \left|g^{(4)}(x)\right|$ . Para encontrarlo, hay que maximizar la cuarta derivada de $g(x) = \sqrt{1 + \cos^2x}$ en $[0,\pi]$ . A mí me parece que eso no es trivial (o, al menos, extremadamente tedioso), así que me pregunto si realmente hay que hacerlo aquí.
