Movimiento browniano, problema de probabilidad condicional

Question

Dejemos que $B(t) : t 0$ sea un proceso de movimiento browniano estándar. Encuentra lo siguiente:

(i) $Pr(1 B(2) 3|B(1) = 1)$

(ii) $Pr(2 B(3) B(4) 1|B(1) = 3)$

(iii) $Pr(0 B(3) 4|B(5) = 3)$

Para (i), la distribución de $B(2)-B(1)$ es normal con media $0$ , varianza $1$ por lo que es igual a $Pr(-1-1 B(2)-B(1) 3-1)=Pr(-2 Z 2)$ . (Nota independencia).

Tengo problemas con (ii), sobre todo porque no puedo expresarlo en términos que tengan sentido para mí. Soy muy nuevo en el movimiento browniano. Gracias.

$Pr(2 B(3) B(4) 1|B(1) = 3)=Pr(1 B(4) B(3) 2|B(1) = 3)$

¿Es cierto que $B(4) B(3)|B(1)=3$ se distribuye normalmente con la media $3$ , varianza $2$ ?

Hacerlo $Pr(-2*\sqrt2+3 Z 2*\sqrt2+3)$

Para (iii), la distribución de $B(3)|B(5)$ es normal con media $\frac35*3=1.8$ , varianza $\frac35(5-3)=1.2$ por lo que es igual a $Pr(0*\sqrt{1.2}+1.8 Z 4\sqrt{1.2}+1.8)$

Answer 1

Lo explicaré en un contexto sencillo, los incrementos de la browniana son independientes para cada paso de tiempo y se distribuyen normalmente con media 0 y varianza correspondiente al tamaño del paso de tiempo.

Digamos que $t_1<t_2<t_3<t_4$ . $B(t_4)-B(t_3)$ se distribuye normalmente con media 0 y varianza $t_4-t_3$ y es independiente de $B(t_2)-B(t_1)$

Para ii), $B(1)=3$ es sólo un evento del $\sigma$ -generada por $B(1)$ . Sin embargo, la independencia de los incrementos nos dice que $P(B(t_j)-B(t_i)|B(t_k))=P(B(t_j)-B(t_i))$ para todos $t_j>t_i \geq t_k$

Para iii), le interesan los incrementos entre $B(3)$ y $B(5)$ . $P(B(5)-B(3))$ también tiene una distribución normal con media 0 y varianza 2. Se puede hacer casi lo mismo que en i).

Sólo hay que tener en cuenta que se está calculando la probabilidad conjunta. La probabilidad condicional se define como (por ejemplo): $P(B(2)=2|B(1)=1)=\frac{P[B(2)=2,B(1)=1]}{P[B(1)]=1)}=\frac{P[(B(2)-B(1)]=1]}{P[B(1)=1]}$ .