Encontrar el área de un $15-75-90$ triángulo con la longitud de la hipotenusa incluida sin utilizar las funciones trigonométricas.

Question

Así que hay un triángulo rectángulo $ABC$ con $mC=90°$ , $mB=75°$ y $BC\ (the \ hypotenuse)=12 cm$ . Quiero encontrar el área de este triángulo

Sería algo así:

Nota: Ya he resuelto este problema y he obtenido la respuesta como $18$ $cm^2$ . Por lo tanto, no estoy buscando una respuesta, estoy buscando otra manera de resolver este problema.

He mirado otras preguntas de intercambio de pilas similares a esta pregunta que implica $15-75-90$ triángulos:

Ex. https://math.stackexchange.com/a/2082666/521593

Sin embargo, todas estas preguntas se resolvieron utilizando funciones trigonométricas, Creo que hay una manera de resolver esto usando geometría elemental sin funciones trigonométricas. Traté de ir a alguna parte con la división $B$ en $30-60-90$ triángulos o un $15-15-150$ triángulo pero en vano ya que no me ayudó en absoluto.

Si alguien pudiera ayudar, encontrar este camino sería muy apreciado. Gracias.

Answer 1

Aquí está tu triángulo con un segmento extra inscrito en él:

Ahora tienes un $30$ - $60$ - $90$ triángulo, cuyos ratios presumiblemente conoces. Es decir, conoces los cocientes de $AC$ y $AD$ a $CD.$ Pero también $BD=CD$ y $AB = AD + BD,$ por lo que se tiene la relación $AB : CD,$ y ahora puedes utilizar el Teorema de Pitágoras para obtener el cociente $BC: CD.$ Pero $BC = 12,$ y utilizando las relaciones que has encontrado puedes asignar longitudes a todos los demás segmentos, en particular $AB$ y $AC.$ Entonces podrás encontrar la zona.

Answer 2

Podemos utilizar las propiedades de las cuerdas de un dodecágono:

Answer 3

Dibuja una perpendicular de A a la hipotenusa

Ahora encuentra la longitud de la perpendicular usando la trignometría básica y el área del triángulo = ${1\over2}(BC)(Lenght\ of\ perpendicular)$