Demuestra que $\text{C}/c \cong (c/(\text{C}^{\text{op}}))^{\text{op}}$

Question

Estoy estudiando por mi cuenta desde La teoría de las categorías en su contexto de Emily Riehl y me he encontrado con la siguiente pregunta sobre las categorías de rodajas:

Dejemos que $\text{C}$ sea una categoría y $c$ sea un objeto en $\text{C}$ . Demostrar que $\text{C}/c \cong (c/(\text{C}^{\text{op}}))^{\text{op}}$

El ejercicio aparece en un capítulo que introduce la noción de categorías opuestas y las pruebas de dualidad.

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Mi intuición de por qué la afirmación es cierta proviene de la siguiente observación:

Dejemos que $x,y$ sean objetos en $\mathbf{C}$ (o, por el contrario, el $\mathbf{C}^{\text{op}}$ ). Sea $g^{\text{op}} : c \to y$ y $f^{\text{op}} : c \to x$ sean objetos en $c/(\mathbf{C}^{\text{op}})$ . Por la definición de la categoría de trozos, existe un morfismo $h^{\text{op}} : y \to x$ en $\mathbf{C}^{\text{op}}$ tal que el diagrama de abajo conmuta:

$\hskip2in$

Ahora el "diagrama correspondiente" en la categoría opuesta $(c/(\mathbf{C}^{\text{op}}))^{\text{op}}$ sería:

$\hskip2in$

que, según entiendo, también sería conmutativo. Ahora, para mí, esto indica:

1. que los objetos en $(c/(\mathbf{C}^{\text{op}}))^{\text{op}}$ son los mismos que los objetos de $\mathbf{C}/c$ , es decir, un morfismo en $\mathbf{C}$ de un objeto $z \in \mathbf{C}$ a $c$ .
2. la conmutatividad del segundo diagrama describe morfismos $h$ en ambos $\mathbf{C}/c$ y $(c/(\mathbf{C}^{\text{op}}))^{\text{op}}$
3. si se invierten las flechas de nuevo se vuelve al mismo diagrama. Esto me hace pensar que se podría construir un mapa entre morfismos haciendo primero un mapa de $ \mathbf{C}/c \to (\mathbf{C}/c)^{\text{op}} ( \cong c/(\mathbf{C}^{\text{op}}) )$ por $h \mapsto h^{op}$

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Ahora, lo que realmente estoy buscando es una forma de estructurar una prueba. Siento que tengo algo de intuición, pero estoy muy inseguro de cómo escribirla de manera concisa. Soy nuevo en la teoría de categorías, así que todavía estoy aprendiendo a construir este tipo de pruebas utilizando la dualidad; creo que lo que he escrito es tal vez excesivo, pero estoy tratando de ser lo más explícito posible para asegurarme de que lo entiendo todo.

En particular, no sé cómo conseguiría una correspondencia concreta entre morfismos en las dos categorías que respete la asociatividad de la composición, etc.

Se agradece cualquier ayuda o indicación.

Answer 1

Como suele ocurrir con este tipo de preguntas, hay que empezar por las definiciones. Quieres demostrar que dos categorías son isomorfas. ¿Qué significa eso? Puede parecer una tontería, pero es el primer paso: significa que hay que encontrar un isomorfismo entre las dos.

¿Qué es un isomorfismo de categorías? Es un functor $F : \mathbf{C}/c \to (c/\mathbf{C}^{op})^{op}$ que admite un functor inverso, es decir, un functor $G : (c/\mathbf{C}^{op})^{op} \to \mathbf{C}/c$ tal que $F \circ G$ y $G \circ F$ son ambas identidades. Así que ya sabes lo que tienes que hacer: tienes que encontrar estos dos funtores y demostrar que son inversos entre sí.

Así que primero hay que encontrar $F : \mathbf{C}/c \to (c/\mathbf{C}^{op})^{op}$ . Ahora es el momento de utilizar la intuición que has desarrollado en tu pregunta.

• Un functor debe definirse primero sobre los objetos. Así que supongamos que tenemos un objeto de $\mathbf{C}/c$ , digamos que $f : x \to c$ . Quiere construir un objeto de $(c/\mathbf{C}^{op})^{op}$ de esto. No hay muchas maneras de hacer esto. Básicamente, la única opción que tienes es considerar $F(f) := f^{op} : c \to x$ . Ya lo has visto en tu pregunta.
• Ahora quiere definir $F$ en los morfismos. Los morfismos son los diagramas conmutativos que has escrito en tu pregunta: dado $(f : x \to c)$ , $(g : y \to c)$ objetos de $\mathbf{C}/c$ un morfismo es algún $h : x \to y$ tal que $g \circ h = f$ . Usted quiere definir $F(h)$ . Sabes que tiene que ser un morfismo en $(c/\mathbf{C}^{op})^{op}$ de $g^{op} : c \to y$ a $f^{op} : c \to x$ . Esto también lo has visto en tu pregunta: puedes simplemente definir $F(h) := h^{op}$ .

El siguiente paso es demostrar que se trata efectivamente de un functor. Para ello hay que comprobar que $F$ mapea identidades a identidades, y distribuye sobre la composición. Por ejemplo, ¿cuál es la identidad del objeto $f : x \to c$ en $\mathbf{C}/c$ ? Es simplemente $\operatorname{id}_x : x \to x$ . Hay que comprobar si $F(\operatorname{id}_x)$ es la identidad de $f^{op} : c \to x$ en $c/\mathbf{C}$ . Y es cierto, porque $F(\operatorname{id}_x) = \operatorname{id}_x^{op}$ es la identidad de $x$ en $\mathbf{C}^{op}$ . Tienes que hacer lo mismo para la composición, te dejaré hacerlo.

El siguiente paso es encontrar el functor inverso $G : (c/\mathbf{C}^{op})^{op}$ . Piénsalo por un momento. Verás que la definición es muy similar a $F$ ; en los objetos que se envían $f^{op} : c \to x$ a $G(f^{op}) := f : x \to c$ y en los morfismos se hace lo mismo, $G(h^{op}) := h$ .

A continuación, tiene que demostrar que $G$ es un functor, lo cual es de nuevo un simple ejercicio de definiciones. Por último, se quiere demostrar que $F$ y $G$ son inversos entre sí, es decir $F \circ G = \operatorname{id}$ y $G \circ F = \operatorname{id}$ . Pero eso es bastante obvio: $G(F(f)) = G(f^{op}) = f$ (en los objetos), y de forma similar en la otra dirección. Así que ya está hecho.