¿Por qué es $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}] \le 4$

Question

Estoy trabajando en el siguiente ejercicio:

Demuestra que $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ tiene grado $4$ en $\mathbb{Q}$ demostrando que $1,\sqrt{2},\sqrt{3}$ y $\sqrt{6}$ son linealmente independientes.

He demostrado que $1,\sqrt{2},\sqrt{3}$ y $\sqrt{6}$ son linealmente independientes, pero si no me equivoco esto sólo demuestra que el grado de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ en $\mathbb{Q}$ es al menos $4$ es decir $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}] \ge 4$ . No veo cómo esto debería demostrar también que $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}] \le 4$ . ¿Podría explicarme eso?

Answer 1

Sugerencia : $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]\cdot[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]$ .

Answer 2

Que tiene como máximo $4$ se deduce del hecho de que $p(x)=(x^2-2)(x^3-3)$ tiene grado $4$ y se divide en $\Bbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ . Así que eso ya es obvio. (Por resultados estándar el polinomio mínimo de esta extensión, cuyo grado es igual a $[\Bbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3}): \Bbb Q]$ debe ser un divisor de $p$ y así $2$ o $4$ ).