Ejemplos para $ \text{If } \; x-\lfloor x \rfloor + \frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor = 1 \text{, then } x \text{ is irrational.}$

Question

He visto las respuestas aquí sobre cómo probar: $$ \text{If } \; x-\lfloor x \rfloor + \frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor = 1 \text{, then } x \text{ is irrational.}$$

He entendido la prueba. Pero, ¿puede alguien darme un ejemplo de un irracional $x$ que hace que esta igualdad sea cierta?

Answer 1

Si $x>1$ entonces $0< \frac 1x < 1$ así que $\lfloor \frac 1x \rfloor = 0$ y la ecuación se reduce a

$$x + \frac{1}{x} = 1 + \lfloor x \rfloor$$

Cualquier número $x>1$ puede escribirse en la forma $x = n + r$ donde $n$ es un número entero y $0<r<1$ . Tome este formulario para $x$ en la ecuación anterior. Dado que $\lfloor n + r\rfloor = n$ la ecuación se reduce entonces a

$$ r^2 + (n-1)r - (n-1) = 0$$

Resuelve la ecuación cuadrática de $r$ y elegir la raíz que está en $(0,1)$ . $x = n + r$ será entonces un número irracional que satisfaga su ecuación para cualquier valor del entero $n > 1$ .

Answer 2

Claramente, $$x+\frac1x$$ es un número entero, y que $n$ y resolviendo la ecuación de $x$ ,

$$x=\frac{n+\sqrt{n^2-4}}2,\\ \frac1x=n-x.$$

Para los grandes $n$ tenemos por el desarrollo de Taylor

$$x=\frac{n+\sqrt{n^2-4}}2=\frac n2\left(1+\sqrt{1-\frac4{n^2}}\right)\approx n-\frac1n,\\\frac1x=n-x\approx\frac1n.$$

Así, las partes enteras son respectivamente $n-1$ y $0$ y la ecuación inicial se verificada:

$$x-(n-1)+(n-x)-0=1$$

(en realidad funciona para cualquier $n>2$ ).

Answer 3

Sugerencia : Si $k\gt2$ es un número entero, entonces

$$\left\lfloor k+\sqrt{k^2-4}\over2\right\rfloor=k-1$$