La intersección de conjuntos medibles de Jordan es medible de Jordan

Question

Actualmente estoy aprendiendo por mi cuenta la teoría de las medidas de https://terrytao.files.wordpress.com/2012/12/gsm-126-tao5-measure-book.pdf .

Me gustaría recibir ayuda/consejos para demostrar las propiedades de cierre booleano del ejercicio 1.1.6. Primero estoy probando que si $E$ y $F$ son medibles en Jordania, entonces $E\cap F$ es medible en Jordania, parece muy elemental y por eso no sé por qué causa dificultades. Aquí está mi intento de una prueba:

Si $E$ y $F$ son medibles en Jordania, entonces existen conjuntos elementales $A_1,B_1,A_2,B_2$ tal que $$ A_1\subset E\subset B_1, A_2 \subset F \subset B_2$$ con $m(A_1) = m(B_1), m(A_2) = m(B_2).$ Tenga en cuenta que $$ A_1 \cap A_2 \subset E\cap F \subset B_1 \cap B_2.$$ Ahora quiero demostrar que $m(A_1 \cap A_2) = m(B_1\cap B_2)$ y luego desde $A_1 \cap A_2$ y $B_1 \cap B_2$ son elementales $E\cap F$ sería Jordania medible. También sé que $m(B_1 \cap B_2) \leq m(A_1\cap A_2)$ por la propiedad de monotonicidad de los conjuntos elementales. Intentaba dividir cada uno de los conjuntos $A_1,B_1,A_2,B_2$ Por ejemplo $$ A_1 = (A_1 \cap A_2)\cup (A_1\backslash A_2).$$ Con esto podemos concluir $$ m(A_1 \cap A_2) + m(A_1\backslash A_2) = m(B_1 \cap B_2) + m(B_1\backslash B_2) $$ $$ m(A_1 \cap A_2) + m(A_2\backslash A_1) = m(B_1 \cap B_2) + m(B_2\backslash B_1). $$ Esto no parece ayudar y he probado varias otras cosas en vano. Gracias por su ayuda.

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $E$ El hecho de que Jordania sea medible no implica necesariamente $m(A_1)=m(B_1)$ en su pregunta. Significa, por definición, que $\underset{A\subset E}\sup m(A)=\underset{B\supset E}\inf m(B)$ con $A,B:$ elemental.

Para responder a tu pregunta, te sugiero que primero demuestres un lema sencillo y útil, que es exactamente el ejercicio 1.1.5 de Tao, es decir $E$ es medible en Jordania si $\forall \epsilon > 0$ existen conjuntos elementales $A\subset E\subset B$ tal que $m(B\setminus A) \le \epsilon$ .

Ahora podemos demostrar la afirmación de la siguiente manera. $\forall \epsilon>0$ existen conjuntos elementales $A_1\subset E\subset B_1$ y $A_2\subset F\subset B_2$ con $m(B_1\setminus A_1)\le \epsilon/2$ y $m(B_2\setminus A_2)\le \epsilon/2$ . Como ha señalado, tenemos $(A_1\cap A_2)\subset (E\cap F)\subset (B_1\cap B_2)$ . Dejar $B\triangleq B_1\cap B_2$ La clave es sólo convencerte de que $B \setminus(A_1\cap A_2)= (B\setminus A_1)\cup (B\setminus A_1)\subset (B_1\setminus A_1)\cup(B_2\setminus A_2).$ La conclusión se desprende entonces de la subaditividad de la medida elemental, es decir $$m((B_1\cap B_2) \setminus(A_1\cap A_2))\le m(B_1 \setminus A_1)+m(B_2 \setminus A_2)\le \epsilon.$$