Una pregunta sobre el teorema de uniformización

Question

La Wikipedia dice, sobre el teorema de la uniformización:

En matemáticas, el teorema de la uniformización dice que toda superficie de Riemann simplemente conectada es conforme a uno de los tres dominios: el disco unitario abierto, el plano complejo o la esfera de Riemann. En particular, admite una métrica riemanniana de curvatura constante .

Mi pregunta es, ¿se sigue tan fácilmente? Consideremos un mapa conforme $F$ entre dos 2manifolds riemannianos $(A,g)$ y $(B,g_1)$ donde la notación significa (colector, métrica). Si consideramos una métrica conformada a $g_1$ , digamos que $g_2 := e^{2u}g_1$ , donde $u \in C^\infty(B)$ el mapa $F$ sigue siendo conforme, pero la curvatura de $g_2$ ¡está cambiado! Yo lo diría así: la curvatura no es un invariante conforme. Creo que se necesita un poco de esfuerzo para lograr la afirmación en negrita. ¿Qué me falta?

Answer 1

Una superficie de Riemann "desnuda" $S$ no tiene métrica, y por tanto tampoco tiene curvatura. Es sólo un colector bidimensional dotado de la llamada estructura conforme. Esta estructura está codificada en las cartas locales $z_\alpha:\ U_\alpha\to{\mathbb C}$ que se relacionan mediante mapas conformes entre sí.

Pero dada cualquier superficie de Riemann $S$ con parches de coordenadas locales $(U_\alpha,z_\alpha)_{\alpha\in I}$ puede definir en $S$ varias métricas riemannianas $g$ compatible con la estructura conformada dada. En términos de coordenadas locales $z_\alpha$ estas métricas aparecen en la forma $ds^2=g_\alpha(z_\alpha)|dz_\alpha|^2$ . La afirmación en negrita dice que si $S$ está simplemente conectado puede elegir el $(g_\alpha)_{\alpha\in I}$ de tal manera que la colecta riemanniana resultante $(S,g)$ tiene una curvatura constante $-1$ , $0$ o $1$ . Sólo hay que transportar la conocida métrica de curvatura constante sobre $D$ , ${\mathbb C}$ o $S^2$ a través del mapa garantizado por el teorema de uniformización a su superficie $S$ .