Voy a demostrar otras dos identidades de cálculo vectorial para comprobar si he entendido bien las notaciones de los físicos :D También voy a utilizar la notación de suma de Einstein. ;-)
1. $$\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B})$$
$$\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \partial_i(\mathbf{A}\times\mathbf{B})_i=\partial_i(\epsilon_{ijk}A_jB_k)=\epsilon_{ijk}\partial_i(A_jB_k)=\epsilon_{ijk}A_j\partial_iB_k+\epsilon_{ijk}B_k\partial_iA_j$$
$$\epsilon_{ijk}A_j\partial_iB_k+\epsilon_{ijk}B_k\partial_iA_j=-\epsilon_{jik}A_j\partial_iB_k+\epsilon_{kij}B_k\partial_iA_j=-A_j(\epsilon_{jik}\partial_iB_k)+B_k(\epsilon_{kij}\partial_iA_j)$$ $$-A_j(\epsilon_{jik}\partial_iB_k)+B_k(\epsilon_{kij}\partial_iA_j)=-A_j(\nabla \times \mathbf{B})_j+B_k(\nabla \times \mathbf{A})_k = -\mathbf{A}\cdot(\nabla \times \mathbf{B})+\mathbf{B}\cdot(\nabla \times \mathbf{A})$$
2. $$ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{A} \right) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^{2}\mathbf{A}$$
donde $\nabla^{2}\mathbf{A}=\langle \nabla^{2}A_x, \nabla^{2}A_y, \nabla^{2}A_z\rangle$ y se llama vector Laplaciano.
$$(\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{A} \right))_i = \epsilon_{ijk}\partial_j(\nabla\times \mathbf{A})_k=\epsilon_{ijk}\partial_j(\epsilon_{kmn}\partial_mA_n)=\epsilon_{ijk}\epsilon_{kmn}\partial_j(\partial_mA_n)$$ Ahora utilizamos la famosa igualdad: $$\epsilon_{ijk}\epsilon_{kmn}=\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm}$$
$$(\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{A} \right))_i= \delta_{im}\delta_{jn}\partial_j(\partial_mA_n)-\delta_{in}\delta_{jm}\partial_j(\partial_mA_n)=\partial_j(\partial_iA_j)-\partial_j(\partial_jA_i)$$ $$\partial_j(\partial_iA_j)-\partial_j(\partial_jA_i)=\partial_i(\partial_jA_j)-(\partial_j\partial_j)A_i=\partial_i(\nabla \cdot\mathbf{A})-(\nabla^{2}\mathbf{A})_i=(\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})-\nabla^{2}\mathbf{A})_i$$
Estoy seguro de que la última línea necesita algunas modificaciones porque el LHS es el componente i-ésimo de $\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{A} \right)$ mientras que en el RHS un vector ( $\nabla^{2}\mathbf{A}$ ) ha aparecido antes de lo que debería.
Por lo tanto, he hecho las siguientes suposiciones en mis cálculos (por favor, verifíquelas):
-
Parciales siempre actúan como diferenciales, independientemente de los subíndices que intervienen en nuestros cálculos . $\partial_iX_jY_k = (\partial_iX_j)Y_k + X_j(\partial_iY_k)$ .
-
Si asumimos la existencia y continuidad de las segundas derivadas involucradas en nuestros cálculos, entonces como las derivadas parciales se conmutan tenemos $\partial_i\partial_j= \partial_j\partial_i$ .
-
He asumido que $\epsilon_{ijk}$ es una función constante y puede salir de las derivadas parciales con facilidad.
EDITAR:
Quiero demostrarlo:
$$ \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}) $$
$$(\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}))_i = \partial_i (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=\partial_i(A_jB_j)=\partial_i(A_j)B_j+\partial_i(B_j)A_j$$
No veo cómo debo avanzar. Estoy atascado.
