Distribución Weibull vs. Distribución Gamma

Question

¿Cuál es la diferencia entre la intuición de las distribuciones Gamma y Weibull? ¿Hay alguna relación entre las dos densidades?

Por favor, ayúdenme.

Answer 1

Tanto la distribución gamma como la de Weibull pueden considerarse generalizaciones de la distribución exponencial. Si consideramos que la distribución exponencial describe el tiempo de espera de un proceso de Poisson (el tiempo que tenemos que esperar hasta que se produzca un suceso, si éste tiene la misma probabilidad de ocurrir en cualquier intervalo de tiempo), entonces la $\Gamma(k, \theta)$ distribución describe el tiempo que tenemos que esperar para $k$ que se produzcan eventos independientes.

Por otro lado, la distribución de Weibull describe efectivamente el tiempo que tenemos que esperar para que ocurra un evento, si ese evento se vuelve más o menos probable con el tiempo. En este caso, la $k$ describe la rapidez con la que aumenta la probabilidad (proporcional a $t^{k-1}$ ).

Podemos ver la diferencia en el efecto mirando las pdfs de las dos distribuciones. Ignorando todas las constantes de normalización:

$$ f_{\Gamma}(x) \propto x^{k-1} \exp\left(-\frac{x}{\theta}\right) \\ f_{W}(x) \propto x^{k-1} \exp\left(-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\right) $$

Como se puede ver en esto, el pdf de la distribución de Weibull cae mucho más rápido (para $k > 1$ ) o lentamente (para $k < 1$ ) que la distribución gamma. En el caso de que $k = 1$ ambos se reducen a la distribución exponencial.