¿Es cierto que $Dim(Col(A))=Dim(Range(A^T))$ ?

Question

Estoy tratando de demostrar que $rankA = rankA^T$ y después de examinar el libro de texto, creo que esto tiene que ver con $Col$ y $Range$ de $A$ .

Sin embargo, no estoy seguro de que esta afirmación sea del todo cierta. Mi suposición es que $Dim(Col(A))$ no tiene por qué ser lo mismo que $Dim(Col(A^T))$ . Entonces, ¿cómo sabemos que $Dim(Col(A))$ será igual a $Dim(Range(A^T))$ . Estoy viendo las matricias elementales de $A$ y $A^T$ pero hasta ahora no había hecho ningún progreso.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Una forma fácil de verlo es la siguiente : $A\in M_n(\mathbb{R})$ es de rango $r$ iif $\exists P,Q\in GL_n(\mathbb{R})$ tal que : $$A=PJ_r Q$$ donde $J_r$ es la matriz diagonal con $r$ los de la diagonal (r primero).

Entonces $$A^T=Q^T J_r P^T$$ Y puedes ver el resultado.

Edición : si las matrices no son cuadradas también se puede pensar en el mismo resultado

Answer 2

En primer lugar, hay que tener en cuenta que el rango y el espacio de la columna son la misma cosa.

Diga $A$ tiene $n$ filas de pivote, entonces las columnas de $A$ abarcan algunos $n$ -subespacio dimensional, por lo que $\dim col(A)=n$ . Pero si $A$ tiene $n$ filas de pivote, entonces también tiene $n$ columnas pivotantes (pruebe algunos ejemplos), es decir $\dim row(A)=n$ .

Esto se suele escuchar como "el rango de columnas y el rango de filas de una matriz son iguales". Esto implica que $\dim col(A)=\dim row(A)$ .

Transposición de la matriz $A$ significa el espacio de la columna de $A$ se convierte en el espacio de filas de $A^T$ y el espacio de filas de $A$ se convierte en el espacio de columnas de $A^T$ .

Por lo tanto, $\dim col(A)=\dim row(A^T)=\dim col(A^T)$ .