Expectativa condicional de una variable aleatoria exponencial dado que es menor que otra v.r. exponencial independiente.

Question

Tenemos dos variables aleatorias con distribución exponencial, X~exp( $\theta$ ) e Y~exp( $\mu$ ). X e Y son independientes entre sí. ¿Qué es $E[X|X<Y]$ y $E[X|X>Y]$ ?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Muchas gracias.

Answer 1

Considere $E(X\mid X<Y)$ . Lo que necesitas son $P(X<Y)$ y $E(X1_{X<Y})$ . Como ejemplo, consideramos $E(X1_{X<Y})$ para lo cual observamos que \begin{align*} E(X1_{X<Y}) &= E\big(E(X1_{X<Y} \mid X) \big)\\ &=E\big(X E(1_{X<Y} \mid X) \big)\\ &=E\left(X\, e^{-\mu X} \right). \end{align*} Lo que queda ahora es sencillo.