Compacidad, convexidad, casco convexo de conjuntos, incluidas las secuencias

Question

¿Es el siguiente conjunto compacto, es convexo y cuál es el casco convexo?

• $V = \{(x_1, x_2,...,x_n) \in \mathbb{R}^n :\frac{1}{1 + i} \leq x_i \leq \frac{1}{i}, i=1,2,...,n\}$

Mis pensamientos:

Estaba pensando que debería ser compacta, ya que la serie es finita y, por tanto, debería existir una subcobertura finita de la cubierta abierta.

Cuando se trata de la convexidad no sé cómo aplicar la fórmula general $\lambda x + (1-\lambda)y$ a las ecuaciones anteriores.

En caso de que el conjunto fuera convexo, el casco convexo sería el propio conjunto, ¿no? Pero en caso de que no sea convexo, debería ser un conjunto que contenga todas las combinaciones convexas. ¿Existe alguna forma de cálculo para el casco convexo? ¡Muchas gracias de antemano por su ayuda!

Answer 1

Sí. Es compacto, tal y como crees.

De hecho $V=[\frac12,1] \times [\frac13, \frac12]\times \cdots \times [\frac{1}{n+1},\frac1n]$ . Utilizando un teorema famoso, (lo siento, he olvidado su nombre), de que cualquier producto de espacios compactos sigue siendo compacto, concluimos que $V$ es compacto.

¿Es convexo? No estoy seguro. Pero vemos $[\frac12,1],[\frac13, \frac12], \cdots [\frac{1}{n+1},\frac1n]$ son todos convexos.

Si la siguiente afirmación es cierta, también podemos concluir que $V$ es convexo.

Cualquier producto de espacios convexos finitos sigue siendo convexo

Espero que te sirva de ayuda.