Puntos fijos y análisis gráfico

Question

Para las siguientes funciones (i) encuentra los puntos fijos y (ii) utiliza el análisis gráfico para determinar la dinámica para todos los puntos de R: $f(x)=2sin(x)$ .

No tengo problemas para encontrar los puntos fijos, pero ni siquiera sé qué pide la segunda parte del problema ni qué hacer. ¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Comience con un gráfico de $f(x)=\sin(2x)$ junto con la línea $y=x$ :

Parece que hay un punto fijo alrededor de $x_0\approx 0.95$ . Desde $$f'(0.95) \approx 2\cos(2\cdot 0.95) \approx -0.65,$$ esperamos que este punto sea atractivo bajo la iteración. Para realizar el análisis gráfico, basta con colocar el lápiz sobre la línea amarilla $y=x$ en el punto cuyo $x$ -coordinación es $x_1$ es decir, el punto en el que te gustaría empezar. Ahora, muévete verticalmente hacia el gráfico azul y luego horizontalmente hacia la línea amarilla. Ha pasado con éxito de $x_1$ a $x_2$ .

Ahora simplemente repite este proceso hasta que sientas que ves la convergencia. Puedes pasar el ratón por encima de la región de abajo para ver veinte iteraciones.

Por cierto, dices que no has tenido problemas para encontrar los puntos fijos, es decir, para resolver $\sin(2x)=x$ para $x$ . La forma más fácil que veo de hacerlo es simplemente realizar la iteración. En Mathematica, algo como

f[x_] = Sin[2 x];
NestList[f, 0.5, 20]

(* Out: {0.5, 0.841471, 0.993718, 0.914454, 0.966874, 0.934853, 
  0.955658, 0.942581, 0.950993, 0.945656, 0.949073, 0.946898, 0.948288, 
  0.947402, 0.947967, 0.947607, 0.947837, 0.94769, 0.947784, 0.947724, 
  0.947762} *)

Así, vemos un punto fijo en torno a $0.9477$ . Esta es exactamente la técnica que defendí en respuesta a su pregunta aquí .