La intuición detrás de la energía de Willmore

Question

He leído que la energía de Willmore es una medida cuantitativa de cuánto se desvía una superficie determinada de una esfera redonda. También he oído que dice que las cosas en la naturaleza tienden a cambiar su forma de tal manera que utilizan la menor energía para sobrevivir. Y acaba siendo una esfera al utilizar la energía de Willmore. Pero, ¿cómo se relaciona esto con esta fórmula?

$$W=\int_SH^2dA-\int_SKdA$$

¿Qué tiene esto que ver con todas las interpretaciones de la vida real?

Answer 1

La fórmula codifica exactamente el principio intuitivo de que una superficie resiste la flexión o el estiramiento, de la forma más sencilla posible.

H es la curvatura media y K es la curvatura gaussiana. En principio, también debería haber algo así como un coeficiente de rigidez a la flexión que multiplicara cada término, para dar las unidades correctas y ponderar el coste energético de cada tipo de curvatura en función de lo que resiste la superficie a cada tipo de deformación. Los términos son, como dices, algo así como dos tipos de energía elástica de flexión, pero en lugar de resistir la compresión o el cizallamiento tenemos dos términos que resisten aproximadamente la "flexión" (curvatura media) y el "estiramiento" (curvatura gaussiana) de una superficie.

Observa ejemplos de cómo son las superficies con diferentes curvaturas medias y gaussianas. A grandes rasgos, el primer término significa que el objeto resiste el tipo de curvatura lateral que no distorsionaría una cuadrícula dibujada en la superficie en ambas direcciones, como por ejemplo, enrollar un plano en un cilindro. El segundo término significa que resiste el abombamiento hacia afuera o hacia adentro de una manera que distorsionaría una cuadrícula dibujada en la superficie. (El papel es un material que se puede doblar pero no se estira: todo lo que se puede hacer a un trozo de papel es el primer tipo de flexión, que le da una curvatura media y no una curvatura gaussiana).

Si sólo hablamos de esferas y de sus deformaciones, podemos ignorar el término de la integral K porque la fórmula de Gauss-Bonnet dice que, mientras el género topológico no cambia, la curvatura gaussiana total sobre la superficie, obtenida al integrar sobre toda la superficie, permanece constante.
El estado de menor energía es entonces aquel en el que el primer término es mínimo, y el menor valor que puede obtener es cero. Una esfera es una superficie mínima con curvatura media (el primer término) igual a 0. Hay otras superficies mínimas, y es bien sabido que objetos como las películas de jabón formarán alguna superficie mínima.

edit: más sobre el término de curvatura media

La curvatura media es la mitad de la suma de las curvaturas principales, $H=\frac{1}{2} (c_1+ c_2)$ . Para obtener los valores hay que calcular el operador de forma en algún sistema de coordenadas y sus valores propios; la forma más intuitiva de explicarlo es una flexión lateral, como la diferencia entre una superficie plana y la superficie de un cilindro.

Como la curvatura media es al cuadrado tenemos $H^2 = \frac{1}{2}(c_1^2 + 2c_1c_2 + c_2 ^2)$

El término medio es la curvatura gaussiana $K= c_1 c_2$ para una superficie de género constante también podemos ignorar la integral sobre esta parte. En la forma dada con $-\int K dS $ también se resta convenientemente, dejando $W = \int (c_1^2 + c_2^2 ) dS$ .