Denota por $p(n,k)$ el número de particiones de un número natural $n$ tal que la mayor parte en ellos es $k$ (pueden ser varias ocurrencias o una sola, no importa). ¿Existe una relación entre $p(n,k)$ y $\binom{n}{k}$ ? La intuición dice $p(n,k) \leq \binom{n}{k}$
Respuesta
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Tenemos $$\sum_{n\geq 0} p(n) x^n = \left(1+x+x^2+\ldots\right)\left(1+x^2+x^4+\ldots\right)\cdots = \prod_{m\geq 1}\frac{1}{1-x^m} $$
$$\begin{eqnarray*}\sum_{n\geq 0}p(n,k)x^n &=& \left(1+x+x^2+\ldots\right)\left(1+x^2+x^4+\ldots\right)\cdots\left(x^k+x^{2k}+x^{3k}+\ldots\right)\\&=&x^k\prod_{m=1}^{k}\frac{1}{1-x^m}.\end{eqnarray*} $$ Por otro lado, si transponemos el diagrama de Ferrer de una partición cuya parte mayor tiene tamaño $k$ obtenemos una partición con exactamente $k$ componentes $^{(*)}$ Por lo tanto $$p(n,k)=[y^k x^n]\prod_{m\geq 1}\left(1+y x^m+y x^{2m}+y x^{3m}+\ldots\right)=[y^k x^n]\prod_{m\geq 1}\frac{1+x^m(y-1)}{1-x^m}. $$ Por otro lado, el coeficiente de $x^{n-k}$ en $\prod_{m=1}^{k}\frac{1}{1-x^m}=f_k(x)$ se puede encontrar por medios estándar. $f_k(x)$ es una función meromórfica con polos a lo largo de $S^1$ el más relevante de ellos es el polo de orden $k$ en $x=1$ . Ya que por estrellas y barras $$ \frac{1}{(1-x)^k} = \sum_{h\geq 0}\binom{k-1+h}{k-1}x^{h} $$ no es de extrañar que $p(n,k)$ está cerca de $\binom{n-1}{k-1}$ pero los otros polos de $f_k(x)$ (en $-1,\omega,\omega^2,i,-i,\ldots$ ) tienden a proporcionar una perturbación significativa si $k$ (y así $n$ ) es grande.
$(*)$ Estrellas y barras también da que el número de $(a_1,a_2,\ldots,a_k)$ en $\left(\mathbb{N}+\right)^k$ tal que $a_1+a_2+\ldots+a_k=n$ es igual a $\binom{n-1}{k-1}$ .
