¿Existe una transformación de coordenadas general que conserve las componentes de una métrica euclidiana?

Question

En el espacio euclidiano (o en el espacio-tiempo de Lorentz, si te interesa la relatividad), hay un sistema de coordenadas ortonormal $\{x^\mu\}$ tal que la distancia al cuadrado viene dada por

$ds^2=(dx^1)^2+\cdots+(dx^n)^2$

Quiero encontrar una transformación de coordenadas general $y^\mu=\phi^\mu(x)$ tal que la distana es

$ds^2=(dy^1)^2+\cdots+(dy^n)^2$

Siendo general, quiero decir $\partial\phi^\mu/\partial x^\nu$ son funciones de $x^\mu$ .

Sabemos que podemos encontrar una transformación de coordenadas particular para que esto ocurra, es decir, la rotación. Ahora, si queremos algo más general, supongo que las condiciones son

$\frac{\partial\phi^\mu}{\partial x^\rho}\frac{\partial\phi^\nu}{\partial x^\sigma}g^{\rho\sigma}=g^{\mu\nu}$

y

$\nabla^2y^\mu=0$

La primera muestra que podemos ver $\frac{\partial\phi^\mu}{\partial x^\rho}$ como el $\rho$ -ésimo compoente de un vector etiquetado por $\mu$ y estos vectores forman una base ortonormal. Podemos encontrar infinitos conjuntos de este tipo de bases ortonormales sin problemas. Pero no me parece que correspondan definitivamente a una transformación de coordenadas, probablemente debido a la segunda condición. Sin embargo, la segunda condición no parece imponer ninguna restricción fuerte sobre el tipo de base ortonormal que debemos elegir.

Así que me quedo atascado. Por favor, ayúdenme.

Answer 1

Una forma obvia de pensar en esto es decir que, dado que las métricas son las mismas, las geodésicas son las mismas (es decir, líneas rectas). Por lo tanto, la transformación tiene que mapear todas las líneas rectas en líneas rectas. Las rectas son de la forma $$l^{\mu}(t) = a^{\mu}t+b^{\mu}$$ donde $a^{\mu},b^{\mu}$ son constantes, y es fácil ver que la única manera de hacer que esto funcione es tomar $\phi^{\mu} = R^{\mu}_{\nu}x^{\nu}+A^{\mu}$ con $R$ una matriz constante (es decir $\phi$ es un mapa lineal). Entonces su primera condición da que $R$ es una rotación (o una transformación de Lorentz en el caso del espacio de Minkowski).