$p$ -depuración de una forma modular

Question

Dejemos que $p$ un primo y $N$ un número entero tal que $p\not\mid N$ . Señalaré con $X_0(m)$ la curva modular con respecto al subgrupo de congruencia $\Gamma_0(m)$ .

Dejemos que $f$ sea una forma modular con respecto a $\Gamma_0(N)$ de peso $k$ y considerar la $p$ -depleción definida por

$f^{[p]}(\tau)=f(\tau)-a_pf(p\tau)+p^{k-1}f(p^2\tau)$ ,

donde $a_p$ es el $p$ -coeficiente de la $q$ -expansión de $f$ en el infinito. Con la interpretación habitual de una forma modular de nivel $N$ como funciones sobre triples $(E,t,\omega)$ , visto como $\mathbb{C}$ -puntos de $X_0(N)$ con $t$ subgrupo de orden $N$ de la curva elíptica $E/\mathbb{C}$ y $\omega$ un diferencial elegido, me gustaría ''evaluar'' $f^{[p]}$ en tal punto, al menos cuando $E$ es ordinario en $p$ .

A priori $f^{[p]}$ es una forma modular de nivel $p^2N$ . Así que se considera la proyección natural $\pi:X_0(p^2N) \rightarrow X_0(N)$ . Mi pregunta es: ¿admite esto una sección sobre el locus ordinario

$s: \mathcal{A}\rightarrow X_0(p^2N)(\mathbb{C}_p)$

para que uno pueda usar esto para poner $f^{[p]}((E,t)):=f^{[p]}(s((E,t)))$ ? Si es así, ¿cómo se define esta sección, por ejemplo, en el caso más sencillo de $E$ con CM por $K$ con $p=\mathfrak{p}\bar{\mathfrak{p}}$ dividiendo en $K$ ? ¿Es esta la forma correcta de ver esto?

Answer 1

Sí, hay una sección $X_0(N)^{\mathrm{ord}} \to X_0(Np^r)^{\mathrm{ord}}$ para cualquier $r \ge 1$ identificando $X_0(N)^{\mathrm{ord}}$ con la componente conectada de $X_0(Np^r)^{\mathrm{ord}}$ que contiene $\infty$ .

En realidad, esto no es difícil de ver. Si $E$ es una curva elíptica (digamos que sobre $\mathcal{O}_{\mathbf{C}_p}$ ) cuyo mod $p$ reducción $\overline{E}$ es no singular y ordinario, entonces $E[p^n]$ tiene exactamente el orden $p^{2n}$ pero $\overline{E}[p^n]$ tiene orden $p^n$ (porque la multiplicación por $p$ La isogenia tiene un grado separable $p$ ). Por lo tanto, el núcleo de $E[p^n] \to \overline{E}[p^n]$ tiene orden $p^n$ y eso te da una canónica cíclica $p^n$ -subgrupo de $E$ . Con un poco de trabajo se puede comprobar que esta construcción se extiende también sobre las cúspides, por lo que da una sección $X_0(N)^{\mathrm{ord}} \to X_0(Np^r)^{\mathrm{ord}}$ .

Lo que es mucho más difícil (pero también cierto) es que esta sección se extenderá a una estricta vecindad de $X_0(N)^{\mathrm{ord}}$ en $X_0(N)$ -- es "sobreconvergente". Esto se explica en el artículo de Katz en las actas de Amberes (Springer Lecture Notes #330).

Para una curva elíptica CM el subgrupo canónico será $E[\mathfrak{p}^2]$ (para alguna elección de incrustación $K \hookrightarrow \overline{\mathbf{Q}}_p$ , que señala uno de los dos primos de arriba $p$ ).