Evaluación de la integral definida $\int_{\zeta=0}^{2x} \lvert \sin(\zeta)\rvert \mathrm{d}\zeta$

Question

Necesito ayuda para entender cómo evaluar la siguiente integral:

$$\int_{\zeta=0}^{2x} \lvert \sin(\zeta)\rvert \mathrm{d}\zeta$$

Estoy un poco perdido así que si alguien puede ayudar sería genial.

Answer 1

Dibuje la gráfica de $|\sin x|$ . Supongamos que $x>0$ . Sea $k=\lfloor 2\,x/\pi\rfloor$ sea el único número entero no negativo tal que $k\,\pi\le2\,x<(k+1)\pi$ . Entonces $$\int_0^{2x}|\sin\zeta|\,d\zeta=\int_0^{k\pi}|\sin\zeta|\,d\zeta+\int_{k\pi}^{2x}|\sin\zeta|\,d\zeta=k\int_0^\pi\sin\zeta\,d\zeta+\int_0^{2x-k\pi}\sin\zeta\,d\zeta.$$