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¿Qué es exactamente la declaración de "hay 27 líneas en un cúbicos"?

Creo que hubo un teorema, como

  • cada cúbicos hipersuperficie en $\mathbb P^3$ 27 líneas.

¿Cuál es la exacta de la declaración y de los detalles?

125voto

Martin Peters Puntos 636

Usted puede ver una foto de un modelo de la cúbico en el caso de que todos ellos son reales en el libro de Gerd Fischer: Mathematische Modelle/Modelos Matemáticos. El 27 de líneas se dibujan en la superficie.

21voto

Joel Spolsky Puntos 22686

La exacta de la declaración es que cada liso cúbicos de superficie en $\mathbb P^3$ (más de un algebraicamente cerrado de campo) tiene exactamente $27$ líneas en él. Muchos libros sobre geometría algebraica de ser una prueba de este hecho famoso. La prueba de que la oí por primera vez viene a partir del capítulo V de Hartshorne, donde cúbicos superficies surgir como la voladura de $\mathbb P^2$ $6$ puntos, y donde la fórmula $27=6+15+6$ es explicado.

9voto

DavLink Puntos 101

Es una buena aplicación de la dimensión de la teoría para demostrar que el conjunto de la cúbico superficies que contienen exactamente el 27 de líneas corresponde a un subconjunto abierto de proyectiva 19-espacio; el resto de las superficies que contienen un número infinito de líneas o un número finito distinto de cero a menos de 27. La prueba se puede encontrar en varios lugares, incluyendo Shafarevich del libro y mi línea de geometría algebraica notas.

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winsql Puntos 389

Ver las 27 líneas, tomar 6 genérico puntos P(2) y considerar el lineal sistema de cúbicas a través de ellos. Este sistema lineal que define a una racional mapa de P^2 a P^3 que no es nada más que el golpe de P^2 en estos 6 puntos.

La imagen es un cúbicos de superficie y las líneas son:

  • 6 divisores excepcionales;
  • 15 líneas de conexión de dos de los seis puntos;
  • 6 cónicas a través de cinco de los seis puntos.

1voto

Damir Yumakaev Puntos 36

Recomiendo Jack Huizenga la respuesta a la pregunta "¿por Qué hay exactamente 27 de líneas rectas en un suave cúbicos de superficie?" en Quora. Es detallada y bien escrita.

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