Creo que hubo un teorema, como
- cada cúbicos hipersuperficie en $\mathbb P^3$ 27 líneas.
¿Cuál es la exacta de la declaración y de los detalles?
Creo que hubo un teorema, como
¿Cuál es la exacta de la declaración y de los detalles?
La exacta de la declaración es que cada liso cúbicos de superficie en $\mathbb P^3$ (más de un algebraicamente cerrado de campo) tiene exactamente $27$ líneas en él. Muchos libros sobre geometría algebraica de ser una prueba de este hecho famoso. La prueba de que la oí por primera vez viene a partir del capítulo V de Hartshorne, donde cúbicos superficies surgir como la voladura de $\mathbb P^2$ $6$ puntos, y donde la fórmula $27=6+15+6$ es explicado.
Es una buena aplicación de la dimensión de la teoría para demostrar que el conjunto de la cúbico superficies que contienen exactamente el 27 de líneas corresponde a un subconjunto abierto de proyectiva 19-espacio; el resto de las superficies que contienen un número infinito de líneas o un número finito distinto de cero a menos de 27. La prueba se puede encontrar en varios lugares, incluyendo Shafarevich del libro y mi línea de geometría algebraica notas.
Ver las 27 líneas, tomar 6 genérico puntos P(2) y considerar el lineal sistema de cúbicas a través de ellos. Este sistema lineal que define a una racional mapa de P^2 a P^3 que no es nada más que el golpe de P^2 en estos 6 puntos.
La imagen es un cúbicos de superficie y las líneas son:
Recomiendo Jack Huizenga la respuesta a la pregunta "¿por Qué hay exactamente 27 de líneas rectas en un suave cúbicos de superficie?" en Quora. Es detallada y bien escrita.
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