¿Es el ideal generado por $X^4+1$ máximo en $\mathbb{R}[X]$ ?

Question

He intentado comprobar si $\mathbb R[X]/(X^{4}+1)$ es un campo, y porque $\mathbb R[X]$ es un anillo euclidiano sólo tengo que demostrar que $X^{4}+1$ es irreducible sobre $\mathbb{R}$ . Creo que esto es bastante difícil porque sólo he aprendido teoremas como:

Lemma de Gauss.

Eisenstein.

Condición de la raíz.

Pero estos teoremas sólo funcionan en $\mathbb{Q}$ un $\mathbb{Z}$ . Podría suponer que son reducibles e intentar obtener una contradicción, pero la mayoría de las veces esto es muy problemático. ¿Hay algún teorema/truco/pista que no conozca en esta cuestión?

Gracias.

Answer 1

Pista 1 Por el Teorema Fundamental del Álgebra, los polinomios irreducibles sobre $\mathbb R$ tener un título $1$ o $2$ .

Sugerencia alternativa

$$x^4+1=(x^4+2x^2+1)-2x^2=(x^2+1)^2-(\sqrt{2}x)^2$$

Answer 2

$X^4+1=(X^2-\sqrt{2}X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1)$ en $\Bbb R[X]$ Así que $(X^4+1)$ no es un ideal maximal (primo). De hecho, por CRT tenemos $$\Bbb R[X]/(X^4+1)\cong \Bbb C\times\Bbb C.$$