Caracterizar algunas funciones de recuento

Question

Apologies for the uninformative title, feel free to amend.

Dejemos que $A$ sea cualquier conjunto infinito. Sea $n$ sea un número entero positivo.

¿Existe una caracterización sencilla de las funciones

$$\displaystyle f:{A\choose n}\to{\mathbb N}$$

tal que para algunos $B\subseteq A$

$$f(a)=|a\cap B|\ \textrm{ for every }\ a\in {A\choose n}$$

El conjunto $B$ anterior está determinada de forma única por $f$ (¿verdad?). ¿Podemos obtenerlo fácilmente de $f\ $ ?

EDIT: Como ejemplo, se puede pensar en $A={\mathbb N}$ y como $B$ el conjunto de números pares, el conjunto de números primos, etc. (pero la pregunta es general). Necesito una propiedad que caracterice estas funciones sin mencionar $B$ pero sólo conjuntos de cardinalidad $a$ . (Quiero una propiedad de primer orden en el lenguaje apropiado).

Answer 1

El conjunto $B$ anterior está determinada de forma única por $f$ (¿verdad?). ¿Podemos obtenerlo fácilmente de $f\ $ ?

La respuesta a ambas preguntas es positiva:

1. caso: Hay un poco de $a \in {A \choose n}$ tal que $f(a) = 0$ . Entonces $$ B = \{ b \in \mathbb N \mid f(\{b\} \cup a \setminus \{ \min a \}) = 1 \}. $$

2. caso: De lo contrario, hay algún $a \in {A \choose n}$ tal que $f(a) = n$ . Entonces $$ A \setminus B = \{ b \in \mathbb N \mid f(\{b\} \cup a \setminus \{\min a \}) < n \} $$ y $B = \mathbb N \setminus \left( A \setminus B \right)$ .

Editar: Obsérvese que $A$ puede leerse fácilmente desde $f$ -- por lo que su aparición como parámetro no es necesaria.

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Ahora mismo no tengo tiempo para comprobarlo detenidamente, pero creo que lo siguiente podría caracterizar dichas funciones:

Dejemos que $f \colon {A \choose n} \to \mathbb N$ sea una función tal que

• $\forall a \in {A \choose n} \colon f(a) \le n$ ,
• $\forall k \in \mathbb N \forall a \in {A \choose n} (f(a) = n-k \Leftrightarrow \exists b \in {a \choose k} \forall c \in {A \setminus b \choose n-k} f(b \cup c) \le n-k$

Dejemos que $$ B = \{ x \in A \mid \forall y \in A \forall a \in {A \setminus\{x,y\} \choose n} f(a \cup \{x\}) \ge f(a \cup \{y\}) \} $$ Entonces $$ f(a) = |B \cap a | $$ para todos $a \in {A \choose n}$ .