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Ejercicios sobre la medida exterior (de Lebesgue) en $[0,1]$

Me gustaría comprobar si mi razonamiento es correcto ya que estoy practicando la medida de Lebesgue.

Estos problemas son del libro de Royden & Fitzpatrick. Utiliza $m^*$ como medida exterior.

1) Demuestre que la medida exterior del conjunto $A$ de todos los irracionales en $[0,1]$ es $1$ .

2) Demuestre que si $\{I_k\}$ es un finito colección de intervalos abiertos que cubren el conjunto $B=\mathbb{Q}\cap[0,1]$ entonces $\Sigma^n_{k=1}m^*(I_k)\geq1$ .

Estas dos parecen muy intuitivas, pero no estoy seguro de mi razonamiento, especialmente en la 2).

Para 1), se sabe que $m^*([0,1])=1$ y $m^*(\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$ . Por lo tanto, por la subaditividad contable de $m^*$ tenemos $m^*(A)\geq1$ . También queremos $m^*(A)\leq1$ lo cual es cierto ya que $A\subseteq[0,1]$ y está hecho.

Para 2), observando $I_k=(a_k,b_k), $ si $x\in[0,1]$ es irracional, entonces $x\in \bigcup I_k$ también, ya que en caso contrario (por la finitud) hay un mínimo $a_i$ tal que $x<a_i<1$ y más grande $b_j$ tal que $x>b_j>0$ tal que los números racionales en $[a_i,b_j]$ están al descubierto. Por lo tanto, $\{I_k\}$ cubre $[0,1]$ para que $1=m^*([0,1])\leq m^*(\bigcup I_k)\leq\Sigma^n_{k=1}m^*(I_k)$ como se pretende.

Gracias por cualquier aportación. :D

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Federico Fallucca Puntos 11

Si $\mathbb{Q}\cap [0,1]\subseteq \cup_{k}I_k$ entonces

$[0,1]\subseteq cl(\cup_k I_k)$

Así que

$\sum_{k}m^*(I_k)= \sum_{k}m^*(cl(I_k))\geq m^*(\cup_k cl(I_k))=$

$=m^*(cl(\cup_k I_k))\geq m^*(cl(\mathbb{Q}\cap [0,1]))= m^*([0,1])\geq 1$

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