En este post ( Equivalencia homotópica de toros perforados ), el autor de la primera respuesta afirma que una superficie menos un número finito de puntos es homotópicamente equivalente a un ramo de círculos. Sin embargo, no me parece muy claro.
¿Hay alguna fuente en la que pueda buscar la prueba o la explicación?
El caso $g=0$ siendo directo, permítanme centrarme en el caso $g \geq 1$ .
Dejemos que $X=\Sigma_g -\{p_1, \ldots p_k\}$ sea el espacio topológico obtenido al eliminar $k$ puntos distintos de una superficie cerrada de género $g \geq 1$ . Por el teorema de Seifert-Van Kampen, una presentación para el grupo fundamental de $X$ es $$\pi_1(X)=\langle a_1, \, b_1, \ldots a_g, \, b_g, \, c_1, \ldots, c_k \; | \; c_1c_2 \ldots c_k \Pi [a_i, \, b_i]=1 \rangle \simeq F_{2g+k-1},$$ a saber, $\pi_1(X)$ es gratis en $2g+k-1$ generadores.
Por otra parte, según la teoría clásica de la uniformización (véase, por ejemplo, la pregunta MO 254687 ), la cubierta universal $\tilde{X}$ es homeomorfo al plano hiperbólico $\mathbb{H}^2$ que se puede contraer. Esto significa que $X$ es un asférico $\mathrm{CW}$ -complejo, en particular su tipo de homotopía se detecta sólo por su grupo fundamental.
Por lo tanto, $X$ es homotópicamente equivalente a un ramo $\bigvee_{i=1}^{2g+k-1} S^1$ de $2g+k-1$ círculos, ya que se trata de otra asférica $\mathrm{CW}$ -con el mismo grupo fundamental que $X$ .
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