probar $2\times 2$ la matriz real tiene un valor propio = $\max_{x\neq0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}$

Question

Dejemos que $A$ sea $2 \times 2$ matriz real y el conjunto

$r(A) = \max_{x\neq0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}$ donde $\left\|\cdot\right\|$ es la norma euclidiana. Demostrar que la matriz $A$ siempre tiene un valor propio $\lambda$ con $ |\lambda| = r(A).$

Sé que si una matriz es simétrica, entonces $\lambda_{\max} = \max_{x\neq0} <Ax,x>$ . Pero A no es siempre simétrico, ¿cómo puedo resolver este problema?

Answer 1

Para una matriz general, la afirmación ya no es cierta. Consideremos una matriz de rotación $$A=\left(\begin{array}{rr}\cos a & \sin a\\ -\sin a & \cos a\end{array}\right)$$ Entonces $$\max_{x\neq0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = 1,$$ Sin embargo, $A$ no tiene valores propios.

Se necesitaría el hecho de que $A$ tiene valores propios para que la afirmación se cumpla. Si $A$ tiene al menos un valor propio, entonces podemos demostrar la afirmación observando dos casos:

1. si $A$ tiene un valor propio doble (es decir $\lambda_1=\lambda_2$ ).
2. si $A$ tiene dos valores propios diferentes $\lambda_1>\lambda_2$ .

Answer 2

Sugerencia: Tenga en cuenta que $$||Ax||^2=x^TA^TAx$$ Ahora intenta convencerte de que $$\max_{||x||=1}||Ax||=\sqrt{\lambda_{max}(A^TA)}$$ Ahora trata de encontrar la relación entre los valores propios de $A$ y $A^TA$ . Tenga en cuenta que los pasos hasta ahora no hacen uso del hecho de que $A$ es un $2\times 2$ matriz.

Answer 3

Creo que esto podría no ser cierto en general. Por ejemplo, considere la matriz: \begin{equation*} A = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{equation*} $A$ tiene un valor propio repetido $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$ ; mientras $r(A) = 1$ desde $x = \left[0, 1 \right]^T$ maximiza $\frac{||Ax||}{||x||}$