Límites multivariables

Question

Si observamos la siguiente expresión

$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{e^{tx}}{x^{2}}$ ; $t>0$

entonces debería divergir a $\infty$ porque $e^{tx}$ se desvía hacia $\infty$ más rápido que $x^{2}$ cuando $t>0$ . Sin embargo, si nos acercamos más y más a $0$ Entonces, este diferencial de tipos disminuiría y, finalmente, a $t=0$ el límite es en realidad $0$ . Mi pregunta se refiere al comportamiento de la expresión cuando $t\rightarrow 0$ . Sin saber cómo $t$ y $x$ están relacionados, ¿podemos decir algo significativo sobre la expresión

$\lim_{x\rightarrow \infty; t\rightarrow 0} \frac{e^{tx}}{x^{2}}$

Answer 1

Este límite tiene sentido, pero no existe. En efecto, si $t=\frac1x$ , entonces se convierte en $$\lim_{x\to+\infty}\frac e{x^2}=0,$$ pero si $t=\frac1{\sqrt x}$ , entonces se convierte en $$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{\sqrt x}}{x^2}=+\infty.$$