Supongamos que $X$ y $Y$ son espacios normados. Asociar a cada $\Lambda \in \mathcal{B}(X,Y)$ el número $$\lVert \Lambda \rVert = \sup \left\{ \lVert \Lambda x \rVert : x \in X, \lVert x \rVert \leq 1 \right\}.$$ Esta definición de $\lVert \Lambda \rVert$ hace $\mathcal{B}(X,Y)$ en un espacio normado. Si $Y$ es un espacio de Banach, también lo es $\mathcal{B}(X,Y)$ .
La prueba de que $\mathcal{B}(X,Y)$ está bien y es bastante simple. No consigo un paso sutil para demostrar la integridad.
Supongamos ahora que $Y$ está completo y que $\left\{ \Lambda_n \right\}$ es una secuencia de Cauchy en $\mathcal{B}(X,Y)$ . Desde $$ \lVert \Lambda_n x - \Lambda_m x \rVert \leq \lVert \Lambda_n - \Lambda_m \rVert \lVert x \rVert $$ y como se supone que $\lVert \Lambda_n - \Lambda_m \rVert \to 0$ como $n$ y $m$ tienden a $\infty$ , $\left\{ \Lambda_n x \right\}$ es una secuencia de Cauchy en $Y$ por cada $x \in X$ . Por lo tanto, $$ \Lambda x = \lim_{n\to \infty} \Lambda_n x \;\;\;\; (4) $$ existe. Está claro que $\Lambda : X \to Y$ es lineal. Si $\epsilon > 0$ el lado derecho de (4) no supera $\epsilon \lVert x \rVert$ siempre y cuando $m$ y $n$ son lo suficientemente grandes.
Y aquí está la parte que no entiendo
De ello se desprende que $$ \lVert \Lambda x - \Lambda_m x \rVert \leq \epsilon \lVert x \rVert $$ para todos los grandes $m$ .
¿Podría explicar esta parte?
También para mí (4) es realmente lo que queremos probar, para mí es obvio que hay un $y \in Y$ tal que
$$ y = \lim_{n \to \infty} \Lambda_n x $$
pero debemos demostrar que hay $\Lambda \in \mathcal{B}(X,Y)$ tal que
$$ y = \Lambda x $$
pero el autor parece saltarse esto, ¿por qué puede saltárselo?
Gracias
