¿Cuál es la definición estándar de un ordinario (local) $p$-ádico Galois representación?

Question

Deje $V$ $n$- dimensional $\mathbf{Q}_p$-espacio vectorial con una acción continua de $\operatorname{Gal}(\bar{L}/L)$ donde $L$ es una completa discretamente con valores de campo de característica cero, con una perfecta residuo de campo de carácter $p$.

Pregunta: ¿hay una definición estándar de lo que significa para $V$ que es normal, y si es así, ¿qué es?

La razón que pido es que he visto un par de definiciones diferentes que no parecen muy coinciden (y tal vez esto es sólo el estado de las cosas).

Por ejemplo, en Ralph Greenberg en la Teoría de Iwasawa para $p$-ádico de las Representaciones, se requiere que haya una filtración

$$\cdots \subseteq F^{i+1}V\subseteq F^iV\subseteq\cdots$$

de $V$ $G_L$- estable subespacios que cumplen las siguientes condiciones:

(i) $F^iV=0$ $i \gg 0$

(ii) $F^iV=V$ $i \ll 0$

(iii) la inercia del grupo de $G_K$ hechos por $\chi_p^i$ $F^iV/F^{i+1}V$ donde $\chi_p^i$ $p$- ádico cyclotomic carácter

Supongo que está implícita en (iii) que cualquier aumento en la filtración da un $1$-dimensiones cociente. Greenberg se demuestra en este trabajo (al menos para $L=\mathbf{Q}_p$) que este tipo de representación es Hodge-Tate, pero en su prueba, parece que él no está exigiendo $F^iV/F^{i+1}V$ $\leq 1$ dimensiones, porque él llama a esta dimensión$h_i$, y se demuestra que este cociente, cuando tensored a a $\mathbf{C}_p$ (realización de $\bar{\mathbf{Q}}_p$) es isomorfo a $\mathbf{C}_p(i)^{h_i}$ (al menos yo creo que esto es lo que él hace).

Esta definición me parece (a menos que me estoy perdiendo algo que es totalmente posible) para diferir ligeramente de la de Tom Weston Iwasawa Invariantes de Galois Deformaciones (de donde toma $L$ a ser una extensión finita de $\mathbf{Q}_p$). Él llama a $V$ casi ordinario si hay una composición de la serie

$$0=V^0\subsetneq V^1\subsetneq\cdots\subseteq V^n=V$$

de la $\mathbf{Q}_p[G_L]$-módulo. Él dice que si $V$ es Hodge-Tate, a continuación, para cada una de las $i$, hay un subgrupo abierto de inercia y un entero $m_i$ tal que abra el subgrupo de actos en $V^i/V^{i-1}$$\chi_p^{m_i}$. Luego llama a $V$ ordinario si $m_1\geq m_2\geq\cdots\geq m_n$. A mí me parece que si la Hodge-Tate pesos ( $m_i$ ) son distintos, y que puede tomar la abierta subgrupo para cada una de las $i$ a toda la inercia del grupo, luego de Weston definición de ordinario implica Greenberg, pero si hay la $m_i$ no son todos distintos, entonces no parece funcionar. ¿Greenberg en la definición de la fuerza de la Hodge-Tate pesos para todos aparecen con multiplicidad?

Por último, estoy bastante seguro de que he visto un $2$-dimensional $V$ (al menos al $V$ está conectado a una $p$-ordinario de forma modular) ordinaria, si tiene un $1$-dimensiones unramified $G_L$-cociente (si no me equivoco Greenberg en la definición, en el $2$-dimensional caso, se reduce a la existencia de una dimensión de $G_L$-cociente que es un Tate toque de un unramified carácter). Este uso de la palabra "ordinario" tiene sentido para mí porque está satisfecho por la $p$-ádico representación adjunta a una curva elíptica sobre $L$ con el bien, ordinaria (y tal vez este es el origen del término).

Pido disculpas si hay errores en la de arriba, o si he podido ver algunas obvio equivalencias. Estoy aprendiendo algunas cosas.

Answer 1

Weston definición es más general que la que Greenberg.

• Si $V$ 1-dimensional y corresponde a un ramificada finito de orden de carácter, a continuación, $V$ es ordinario en Weston sentido, pero no en Greenberg.
• Si $V$ es "Greenberg ordinario", entonces yo afirmación de que [EDITAR: después de la posible ampliación de los coeficientes a algunos finito extensión de $E / \mathbf{Q}_p$] la filtración $F^i$ puede ser refinado a una filtración de la satisfacción de Weston condiciones. Para cada $i$, $(F^i V / F^{i+1} V)(-i)$ es un unramified representación de $G_K$, por lo que es determinada únicamente por donde Frobenius va. Desde cualquier endomorfismo de un finito-dimensional del espacio tiene un autovalor [EDITAR: sobre algunos finito de extensión!], esto nos permite dividir un 1-dimensional de la pieza. Continuando de esta manera, podemos encontrar un total de bandera de $G_K$-estable subespacios de $V$, con la Hodge-Tate pesos de los cocientes en el orden correcto. Así que "Greenberg ordinario" representaciones "Weston ordinario" después de algunos finito extensión de los coeficientes.
• Si $V$ es Weston ordinario y semistable, a continuación, $V$ es Greenberg ordinario, porque subquotients de semistable representaciones son semistable, y un semistable representación con todos los Hodge-Tate pesos 0 debe ser unramified.
• Por el contrario, si $V$ es Greenberg ordinario, entonces es semistable. Esto es bastante duro teorema, originalmente debido a Perrin-Riou. De ello se desprende del hecho de que por un semistable representación $W$ con todos los Hodge-Tate pesos $\ge 1$, cualquier extensión de $W$ por el trivial rep es también semistable, es decir,$H^1_{st}(L, V) = H^1_g(L, V) = H^1(L, V)$.

Así que hemos Greenberg ordinario $\Leftrightarrow$ semistable, y Weston ordinario [EDITAR: después de algunos finito coeficiente de extensión]. Uno puede comprobar, por cierto, de que un semistable representación es Greenberg normal si y sólo si el polígono de Newton y la Hodge polígono en $\mathbf{D}_{st}(V)$ coinciden (recordemos que el Newton es siempre en o por encima de la Hodge).

Mi impresión es que la definición más general utilizado por Weston es más estándar de hoy en día, ya que abarca mucho más interesante de los objetos. E. g. la representación adjunta por Hida a un p-ádico ordinario de forma modular de no enteros, de peso será Weston ordinario, pero no va a ser Hodge-Tate, digamos semistable.

Answer 2

David Loeffler es correcta.

En general, ordinaria parece tener varias interpretaciones, que son distintas pero relacionadas entre sí.

Uno de ellos es completamente reducible, es decir, admite un Galois invariante de filtración con una dimensión gradual de las piezas. Esto es aún más general que Tom Weston definición, y es también lo que algunas personas pueden llamar a casi ordinario (pero es más general que lo que otras personas pueden llamar casi normal!).

Uno de ellos es Tom Weston casi ordinario, y otro es su ordinario.

A continuación, hay que Greenberg (pero de nuevo, esto es lo que algunas personas podrían llamar casi ordinario). Este también es utilizado por Perrin-Riou y Fontaine, creo.

Luego está la tercera usted menciona, en el que se requiere que la parte superior pieza clasificada ser unramified, en lugar de sólo una cyclotomic poder de la inercia.

Cada una de estas definiciones surge de alguna manera que parecía natural para el autor en el momento. E. g. la tercera, la más restrictiva, condición, está relacionado con el ordinario de curvas elípticas, como se nota, y también está relacionado con lo que sucede en el Galois reps. de Hida familias de ordinario $p$-ádico las formas modulares.

Por otro lado, una general (es decir, no de peso integral) miembro de una Hida familia le dará una representación en dos dimensiones que (al menos para una elección de normalización) tiene un unramified cociente como en su tercera definición, pero su Galois invariante subrep. no será un integrante del poder de la cyclotomic carácter. Por lo tanto, si uno quiere llamar a estos ordinario, uno es llevado a alguna versión de mi primera definición, o de Weston definición.

La casi ordinario de la terminología surgió (que yo sepa) en Hida trabajo con el fin de obtener un twist-invariante de la noción (porque cuando la generalización de la Hida de la teoría de las formas modulares para más general automorphic formas, la necesidad de disponer de una unramified cociente empieza a verse menos natural --- porque no es twist-invariante, rompe algunos de los naturales de simetría).

La Fontaine--Greenberg--Perrin-Riou definición combina la noción de ser completamente reducible con ser semistable (como David Loeffler notas), lo cual es natural si uno se centra en semistable o cristalino reps., pero lo que de nuevo no es tan natural, si uno está estudiando $p$-ádico de las familias de los representantes. (dicen que se adjunta a Hida familias), ya que no se conservan bajo la interpolación.

Hablando como alguien que trabaja en el campo de la $p$-ádico Galois reps., Yo personalmente uso ordinario en el sentido más general, es decir, simplemente significa completamente reducible, y yo no uso el término casi normal a todos (excepto para comunicarse con otras personas que hacen uso de ella); por otro lado, cuando se utiliza ordinario con este mismo significado general, espero tener a veces para aclarar mi significado a esas estoy hablando. Del mismo modo, si alguien más utiliza corriente en una charla o en un papel y, a continuación, parece empezar a hacer deducciones injustificadas, soy consciente de que pueden ser el uso de una definición más estricta, y se les pedimos exactamente lo que quieren decir (o buscar cuidadosamente en el texto de la definición que se utilice).

Mi esperanza es que con el tiempo, el significado más general será la que toma el relevo; sólo el tiempo dirá si esto realmente sucede, aunque!