Si $|f(x)-f(y)|\le (x-y)^2$ , demuestre que $f$ es constante

Question

(Bebé Rudin Capítulo 5 Ejercicio 1)

Dejemos que $f$ se define para todos los reales $x$ y supongamos que \begin{equation}\tag{1} |f(x)-f(y)|\le (x-y)^2 \end{equation} Demostrar que $f$ es constante.

Mi intento:

Dejemos que $f$ para todas las entradas de valor real. Sea $x \in \mathbb{R}$ y $y \in \mathbb{R} \smallsetminus \{ x \}$ y supongamos que (1) se cumple. Entonces, tenemos: \begin{align*} \left| \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| \le (x-y) \end{align*} Como $x\to y, \lim\limits_{x \to y}\left| \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| \le 0$ . Como no puede ser que $\left|f'(y)\right| < 0$ tenemos que $\left|f'(y)\right| = 0 \implies f'(y) = 0$ .

¿Puede alguien leer mi prueba y decirme si es correcta?

Answer 1

Su deducción de que $$\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\le x-y$$ es incorrecto porque llevaría a $$|f(x)-f(y)|\le |x-y|\cdot(x-y)\ne (x-y)^2$$ Para que funcione, se puede deducir que $$\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\le |x-y|$$

Por lo demás, su solución es correcta.

Answer 2

Técnicamente hay un pequeño error.

Usted tomó $x\in \Bbb{R}$ y $y\in \Bbb{R}$ tal que $y\neq x $ , por lo que debería $y\rightarrow x$ . Luego llegas $f'(x)=0$ para todos $x\in \Bbb{R}$ , lo que da $f$ es constante.

Answer 3

Respuesta tardía, pero he aquí una ligera generalización de este problema.

Dejemos que $X,Y\subseteq\mathbb{R}$ y supongamos $f:X\to Y$ es una función. Supongamos que $f$ es $\alpha$ -Se trata de un soporte continuo con $\alpha\in\mathbb{R}$ y $\alpha>1$ . Entonces, existe un $K\in\mathbb{R}$ tal que para todo $x,y\in X$ tenemos $|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|^{\alpha}$ . Ahora, considere $$0\leq \lim_{x\to y}\bigg|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\bigg|\leq \lim_{x\to y}K|x-y|^{\alpha-1} $$ Desde $\alpha>1$ entonces $\alpha-1>0$ , lo que implica $\lim\limits_{x\to y}|x-y|^{\alpha-1}=0$ . Por el teorema de squeeze, tenemos $\lim\limits_{x\to y}\bigg|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\bigg|=0$ lo que implica $f'(x)=0$ . Como las únicas funciones cuyas derivadas son idénticas a cero son las funciones constantes, entonces debemos tener $f(x)=c$ para algunos $c\in\mathbb{R}$ .