De cuántas maneras puedo organizar $5$ libros azules únicos, $5$ libros rojos únicos y 5 libros verdes únicos para que $2$ ¿los libros azules están siempre juntos?

Question

De cuántas maneras puedo organizar $5$ libros azules únicos, $5$ libros rojos únicos, y $5$ libros verdes únicos para que al menos $2$ ¿los libros azules están siempre juntos?

Creía que dominaba la combinatoria, pero me han dicho que mi enfoque es erróneo. Yo lo veo como si tuviera $14$ puntos para los libros desde $1$ El lugar sería ocupado por el par de libros azules. Así que mi respuesta sería $2!\cdot14!$ ya que la disposición del resto de los libros no es importante. Sólo quiero los arreglos donde $2$ Los libros azules están uno al lado del otro. Se agradece cualquier pista.

Answer 1

Por supuesto, hay $15!$ acuerdos sin restricciones. El número de acuerdos con no dos libros azules juntos puede calcularse como sigue:

• Elige las ubicaciones de los libros azules. Definen $6$ espacios entre y alrededor de ellos; el medio $4$ Los espacios deben contener al menos otro libro. Así, $6$ libros extra para distribuir entre los $6$ espacios con posible $0$ libros adicionales en un espacio, así que por estrellas y barras hay $\binom{6+6-1}6=462$ combinaciones.
• Permutar los libros azul y rojo/verde en sus posiciones; hay $5!10!$ permutaciones para cada combinación.

Por lo tanto, la respuesta final es $15!-462×5!×10!=1,106,493,696,000$ .

Answer 2

Hay un par de cosas que están mal en tu análisis. En primer lugar, hay cinco posibles libros azules que podrían estar uno al lado del otro, por lo que necesitarías un factor extra de $\binom{5}{2}$ para elegir cuáles son. Sin embargo, lo que es más importante, esto hará que el número de soluciones sea excesivo. Si hubiera dos pares de libros azules juntos (o tres libros azules seguidos), se contarían como dos soluciones diferentes aunque sean la misma disposición.

Así que sigamos la sugerencia de John y contemos el número de arreglos en los que no hay dos libros azules uno al lado del otro, y luego restemos eso de $15!$ .

Empezaré poniendo los libros verdes y rojos en la estantería. Como los libros son únicos, esto se puede hacer en $10!$ maneras. Esto establece once lugares potenciales donde los libros azules pueden encajar (y si los libros azules están todos en diferentes ranuras, estamos seguros de que no estarán uno al lado del otro). Podemos elegir qué libros van en qué ranuras en $5!\binom{11}{5}$ formas. Esto nos da un total de $10!\cdot5!\binom{11}{5}$ maneras de poner los 15 libros en la estantería sin libros azules al lado.