Me gustaría entender si existe un grupo infinito discreto de crecimiento exponencial/intermedio tal que su álgebra de von Neumann grupal sea un $II_1$ factor. Estaría encantado de recibir un ejemplo explícito si dicho grupo existe. Muchas gracias.
Respuesta
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(Para los no especialistas: $G$ está incrustado en $\mathcal{B}(\ell^2_{\mathbf{C}}(G))$ como unitarios inducidos por traslaciones a la izquierda, y su álgebra de von Neumann $LG$ es su bicomponente. Decir que $LG$ es un factor significa que el centro de $LG$ se reduce a escalares).
Por un resultado clásico de Murray y von Neumann, el álgebra de von Neumann de un grupo $G$ es un factor (y entonces $II_1$ -) si el grupo es CCI, es decir, $\mathrm{FC}(G)=1$ , donde $\mathrm{FC}(G)$ es la unión de clases de conjugación finitas de $G$ . Equivalentemente, esto significa que $G$ tiene centro trivial y radical finito trivial, es decir, no tiene ningún subgrupo normal finito no trivial. (Que esta condición sea necesaria es trivial).
Si $G\neq 1$ está generada finitamente y es CCI, entonces $G$ no es virtualmente nilpotente. Entre otros grupos, hay un montón de grupos de la CCI: grupos libres no abelianos, etc., y también muchos grupos elementales susceptibles (por ejemplo, policíclicos). En el crecimiento intermedio también hay muchos ejemplos (grupos justo-infinitos como los grupos de Grigorchuk...).
En realidad, cualquier grupo no virtualmente nilpotente finitamente generado tiene un cociente ICC no trivial.
