No puedo resolver este ejercicio y necesito consejos.
Que sea $n$ entero, $s$ real y $r \geq 0$ entero. Demuestre que
$$ \sum_k \binom{r}{k} \binom{s+k}{n} (-1)^k = (-1)^r \binom{s}{n-r} $$
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Felix Marin
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$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert}$ $\ds{\sum_{k}{r \choose k}{s + k \choose n}\pars{-1}^{k} = \pars{-1}^{r}{s \choose n - r}:\ {\large ?}}.\quad$ $\ds{n\ \mbox{integer}, s\ \mbox{real and}\ r\ \mbox{an integer}\ \geq 0}$ .
\begin{align} &\color{#66f}{\large\sum_{k}{r \choose k}{s + k \choose n}\pars{-1}^{k}} =\sum_{k}{r \choose k}\pars{-1}^{k}\oint_{\verts{z}\ =\ 1}{\pars{1 + z}^{s + k} \over z^{n + 1}} \,{\dd z \over 2\pi\ic} \\[3mm]&=\oint_{\verts{z}\ =\ 1}{\pars{1 + z}^{s} \over z^{n + 1}} \sum_{k}{r \choose k}\pars{-1 - z}^{k}\,{\dd z \over 2\pi\ic} =\oint_{\verts{z}\ =\ 1}{\pars{1 + z}^{s} \over z^{n + 1}} \bracks{1 + \pars{-1 - z}}^{r}\,{\dd z \over 2\pi\ic} \\[3mm]&=\pars{-1}^{r}\oint_{\verts{z}\ =\ 1}{\pars{1 + z}^{s} \over z^{n - r + 1}} \,{\dd z \over 2\pi\ic} =\color{#66f}{\large\pars{-1}^{r}{s \choose n - r}} \end{align}
La identidad de Vandermonde dice $$ \binom{s+k}{n}=\sum_{j=0}^n\binom{s}{n-j}\binom{k}{j}\tag{1} $$ Así, $$ \begin{align} \sum_{k=0}^r(-1)^k\binom{r}{k}\binom{s+k}{n} &=\sum_{k=0}^r(-1)^k\binom{r}{k}\sum_{j=0}^n\binom{s}{n-j}\binom{k}{j}\tag{2}\\ &=\sum_{k=0}^r\sum_{j=0}^n(-1)^k\binom{r}{k}\binom{k}{j}\binom{s}{n-j}\tag{3}\\ &=\sum_{k=0}^r\sum_{j=0}^n(-1)^k\binom{r}{j}\binom{r-j}{k-j}\binom{s}{n-j}\tag{4}\\ &=(-1)^r\binom{s}{n-r}\tag{5} \end{align} $$ Explicación:
$(2)$ : aplicar $(1)$
$(3)$ : reordenar los términos
$(4)$ : $\binom{r}{k\vphantom{j}}\binom{k}{j}=\binom{r}{j}\binom{r-j}{k-j}$ (basta con escribir los coeficientes en términos de factoriales)
$(5)$ : $\sum\limits_{k=0}^r(-1)^k\binom{r-j}{k-j}=\sum\limits_{k=0}^{r-j}(-1)^{k+j}\binom{r-j}{k}=(-1)^j(1-1)^{r-j}=(-1)^j[j=r]$
