¿Cómo ver si los números están distribuidos "uniformemente" ([1,2,18,35,36]) o "desordenados hacia un lado" ([1,2,3,30,31], [7,9,17,16,36])?

Question

Tengo un conjunto de 5 números enteros {1,23, 17, 33, 35}. Los elementos sólo pueden tomar valores de [1..36], y sólo se dan una vez dentro del conjunto.

¿Qué matemáticas puedo usar para entender si los números están distribuidos "uniformemente" (significa muy simétricos con respecto a 18 - como ([1,2,18,35,36]) o "desordenados hacia un lado" ([1,2,3,30,31], [7,9,17,16,36]) dentro de un solo conjunto de 5 números? "desordenado a la izquierda" - significa que hay más números pequeños - por debajo de 18 (digamos que 3, 4, 5 números están por debajo de 18).

Necesito analizar muchos conjuntos de este tipo (asignando un valor "uniforme"/"desordenado" a cada uno de ellos) y luego entender qué ocurre con más frecuencia. Además, dicho indicador debe mostrar

1. Los números tienden a estar desordenados a la izquierda o a la derecha ([1,2,3,30,31], [7,9,17,16,36]).
2. Los números tienden a ser cercanos a 18 [16,15,18,19,20]

Pienso en la varianza y la desviación estándar, pero no estoy seguro - tal vez haya indicadores/métodos de análisis más aplicables o más avanzados.

P.D. Parece que la desviación estándar no ayuda, o no puedo entender cómo usarla:

• std([1,2,18,35,36]) = 15,21315220458929 ("uniformemente" distribuido)
• std([1,2,3,30,31]) = 13,97998569384104 ("desordenado/desviado" hacia la izquierda)
• std([7,9,16,17,36]) = 10.25670512396647 ("desordenado/desviado" hacia la izquierda)
• std([1,30,31,32,33]) = 12,24091499847948 ("desordenado/desviado" hacia la derecha)

Además, sesgo no paramétrico se puede utilizar - está dentro de [-1..1] y es cero si los valores son simétricos con respecto al "medio".

Answer 1

Una forma fácil y rápida de comprobarlo:

Pida $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5$ entonces considere

\begin{equation} \sum_{i=1}^5\left(|x_{i}| - |37-x_i|\right) \end{equation}

Si están "uniformemente distribuidos", esta suma es cercana a 0. El peor caso es $\pm 155$ . Puedes establecer un umbral en algún punto intermedio.