Pregunta sobre $l_\infty$ como un espacio métrico completo

Question

Tengo una pregunta sobre la respuesta de Brian M. Scott a esta pregunta ¿Es el conjunto de todas las secuencias acotadas completo?

En su respuesta, $\langle x^n : n \in \mathbb{N} \rangle$ es un objeto de secuencia. $x_n$ es un único número real. Por lo tanto, no entiendo el concepto de escribir $x^n = \langle x_k^n : k \in \mathbb{N} \rangle$ como otro objeto de secuencia.

Sé que un número real es una clase de equivalencia de la secuencia de Cauchy de los números racionales, pero no creo que sea eso lo que ocurre aquí, ya que define $x^n = \langle x_k^n : k \in \mathbb{N} \rangle$ como una secuencia en reales.

Sé que tiene razón; lo he confirmado en otros lugares. Simplemente no puedo entender el concepto subyacente.

Answer 1

Lo que Brian escribe es esto:

• está trabajando con una secuencia $\langle x^n:n\in\mathbb N\rangle$ de elementos de $\ell^\infty$ así, cada $x^n$ es un elemento de $\ell^\infty$ ;
• si se fija un $n\in\mathbb N$ Entonces, como $x^n\in\ell^\infty$ , $x^n$ es una secuencia $$\left\langle x_k^n:k\in\mathbb N\right\rangle$$ de los números reales.

El hecho de "que un número real sea una clase de equivalencia de la secuencia de Cauchy de números racionales" no se utiliza en absoluto en la respuesta de Brian.