pregunta combinatoria (suma de números sin permutación)

Question

Tengo problemas con una cuestión de combinatoria. No es mi campo y la pregunta es difícil para mí.

Ya he hecho una pregunta relacionada antes, pregunta combinatoria (suma de números) pero resultó que lo formulé mal. Pero de todas formas era un problema interesante. Muchas gracias por la ayuda.

Mi verdadera pregunta es: Dados los números $r$ y $m$ . Sea $m_1,..., m_{{2r}}$ sean números tales que $m_i \in \{0, 1, ..., 2m\}$ y $\sum_{i=1}^{2r}m_i=2m$ .

Encuentre el número de maneras de elegir $m_1,...,m_{2r}$ , tal que la suma de cualquier $r$ de ellos será impar.

Intentaba calcular el número de repeticiones (el orden no es importante) y luego simplemente restarlo del resultado en la pregunta 'pregunta combinatoria (suma de números)'. Pero parece que tengo que utilizar un procedimiento diferente.

Gracias.

Answer 1

Creo que está claro que cada $m_i$ tendrá que ser impar y así $r$ también tendrá que ser impar. Por lo tanto, se desea el número de composiciones de $2m$ en $2r$ Números Impares.

Considere la posibilidad de añadir $1$ a cada uno de ellos: ahora quiere el número de composiciones de $2m+2r$ en $2r$ números pares positivos.

Esto es lo mismo que el número de composiciones de $m+r$ en $2r$ enteros positivos. Esto es ${m+r-1 \choose 2r-1}$ . Necesita $m \ge r$ para tener alguna posibilidad.

Pero si el orden no importa, se quiere el número de particiones de $m+r$ en $2r$ enteros positivos. No existe una fórmula sencilla, aunque se pueden utilizar funciones generadoras o algo como mi applet de Java .