¿Qué puede decirme sobre las funciones integrables y las integrales de Riemann?

Question

Definir los conceptos de función integrable e integral de Riemann para funciones de dos variables variables (a través de un rectángulo y sobre un área arbitraria).

Sé cómo definir para un rectángulo pero no un área arbitraria.

EDITAR:

¿Son correctos los siguientes datos?

Para que una función sea integrable, tiene que la función esté acotada y definida en un rectángulo, y que para cada número real e> 0 existan dos funciones escalares tales que g (x, y) <= f (x, y) <= h (x, y) y Integral doble de g (x, y) - Integral doble de h (x, y) < e

La integral de riemann de dicha función es la integral doble de la función f sobre el rectángulo?

Para un área arbitraria D, la función debe ser continua en D y cada (x, y) en D debe ser de la forma p(x) <= y <= r(x), a <= x <= b.

D es compacto => f es continua uniforme y acotada en D.

Brink (no sé si es el nombre correcto en español) de D es un conjunto nulo ya que p(x) y r(x) son continuos. Por lo tanto, f es integrable sobre D ?

Answer 1

Para un área arbitraria, consideras todas las formas posibles de obtener pequeños rectángulos finitos que estén contenidos en tu rectángulo, y calculas el valor mínimo de la función en cada rectángulo y sumas las áreas ponderadas. La suma de todas las opciones de rectángulos te da un límite inferior para tu integral. A continuación, se calcula el mínimo de todas las opciones de rectángulos cuando se toma el valor máximo de la función dentro de cada rectángulo, para obtener un límite superior para la integral. Si los límites inferior y superior coinciden, la función es integrable en el área y el valor de la integral es igual al límite superior/inferior.