Demuestra que la suma de los cuadrados de dos enteros Impares no puede ser el cuadrado de un entero.

Question

Demuestra que la suma de los cuadrados de dos enteros Impares no puede ser el cuadrado de un entero.

Mi método:

Supongamos por el contrario que la suma de los cuadrados de dos enteros Impares puede ser el cuadrado de un entero. Supongamos que $x, y, z \in \mathbb{Z}$ tal que $x^2 + y^2 = z^2$ y $x$ y $y$ son Impares. Deja que $x = 2m + 1$ y $y = 2n + 1$ . Por lo tanto, $x^2 + y^2$ = $(2m + 1)^2 + (2n + 1)^2$ $$= 4m^2 + 4m + 1 + 4n^2 + 4n + 1$$ $$= 4(m^2 + n^2) + 4(m + n) + 2$$ $$= 2[2(m^2 + n^2) + 2(m + n) + 1]$$ Desde $2(m^2 + n^2) + 2(m + n) + 1$ es impar demuestra que la suma de los cuadrados de dos enteros Impares no puede ser el cuadrado de un entero.

Esto es lo que tengo hasta ahora, pero creo que necesita algo de trabajo.

Answer 1

Dejemos que $a=2n+1$ , $b=2m+1$ . Entonces $a^2 + b^2=4n^2 + 4n +4m^2 +4m+2$ . Esto es divisible por $2$ un número primo, pero no por $4=2^2$ . Por lo tanto, no puede ser el cuadrado de un número entero.

Answer 2

Tuviste un gran comienzo pero no deberías hacer esta última factorización.

$$4(m^2 + n^2) + 4(m + n) + 2=4(m^2+n^2+m+n)+2\equiv 2 \pmod 4$$

Pero un cuadrado no puede ser igual a $2 \pmod 4$ ?

Answer 3

He aquí un método rápido, que no es ajeno a tu planteamiento ni a las otras respuestas aquí.

Los cuadrados mod $4$ son $0$ y $1$ (se puede verificar fácilmente comprobando los cuatro). Los números Impares son congruentes con $1$ o $3$ mod $4$ y cada uno de ellos tiene un cuadrado congruente con $1$ mod $4$ . Por lo tanto, la suma de dos cuadrados Impares es congruente con $2$ mod $4$ que no es un cuadrado.

Answer 4

Sólo piensa en base2: a y b, siendo números Impares se verán como $$ xxxx1_2$$ El cuadrado de a y b será impar y también se verá como $$ xxxx1_2 $$ suma de $$xxxx1_2 + xxxx1_2 = xxx10_2 $$

cuadrado del número par $$xxxx0_2$$ se verá como $$xxx00_2$$

por lo que los dígitos en la posición '2' serán siempre 0 para el cuadrado de un número par pero para la suma de cuadrados de números Impares será 1:

$$ xxxx10_2 \neq xxx00_2 $$