$\lim_{x \to 0} (e^x - 1)/x^8$ .

Question

Quiero saber cómo resolver este problema de límites con la expansión en serie de Maclaurin de sólo $e^x$ en los alrededores de $x=0$ .

Answer 1

Sin duda puede aplicar l'Hôpital aquí, siempre que distinga entre los límites de la derecha y de la izquierda. Ya que $$ \lim_{x\to0^+}\frac{e^x}{8x^7}=\infty $$ se puede llegar a la conclusión de que $$ \lim_{x\to0^+}\frac{e^x-1}{x^8}=\infty $$ Asimismo, $$ \lim_{x\to0^-}\frac{e^x}{8x^7}=-\infty $$ y por lo tanto $$ \lim_{x\to0^-}\frac{e^x-1}{x^8}=-\infty $$ Por lo tanto, el límite de los dos lados no existe.

¿Qué pasa con Taylor (o Maclaurin, si prefieres llamarlo así)? La expansión de Taylor es $e^x-1=x+o(x)$ por lo que tienes, desde la derecha, $$ \lim_{x\to0^+}\frac{e^x-1}{x^8}=\lim_{x\to0}\frac{x+o(x)}{x^8}=\infty $$ (se obtiene $\infty$ porque se sabe que la función es positiva en una vecindad puntuada a la derecha de $0$ ). De manera similar para el límite de la izquierda y se obtiene el mismo resultado que antes.

Answer 2

El límite no existe. $(e^x-1)/x^8$ se aproxima al infinito a medida que $x$ se acerca a $0$ desde el extremo positivo, pero $(e^x-1)/x^8$ se acerca al infinito negativo a medida que $x$ se acerca a $0$ desde el extremo negativo. La regla de L'Hôpital establece que si $f(x) \to 0$ y $g(x) \to 0$ como $x$ se acerca a $a$ entonces $$ \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} $$ siempre que $$ \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} $$ existe. En este caso, ese límite no existe, por lo que L'Hôpital no es aplicable.

Answer 3

$$\frac{e^x-1}{x^8}=\frac{1+x+o(x^2)-1}{x^8}.$$

Puedes concluir.