La aproximación más sencilla que funciona para esta integral impropia es la suma inferior de Riemann donde
$$E = \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k/n}} - \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}} \right|= \left|\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2 \right| < O(1/ \sqrt{n}).$$
El límite de error del lado derecho se obtiene sumando con las desigualdades
$$ \frac{1}{\sqrt{k}} > \frac{2}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = 2( \sqrt{k+1} - \sqrt{k}) \\ \frac{1}{\sqrt{k}} < \frac{2}{\sqrt{k} + \sqrt{k-1}} = 2( \sqrt{k} - \sqrt{k-1}),$$
y utilizando una expansión de Taylor.
Específicamente,
$$\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n}2( \sqrt{k+1} - \sqrt{k}) < \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} < \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n}2( \sqrt{k} - \sqrt{k-1}), $$
de donde,
$$ \sqrt{1 + 1/n} - 1/\sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} < 2, $$
y
$$E < 2(1 + 1/\sqrt{n} - \sqrt{1+1/n}) = O(1 / \sqrt{n}).$$
En general, para este tipo de integrales impropias, es aconsejable intentar eliminar la singularidad antes de aplicar una aproximación numérica. En algunos casos, se puede simplemente ignorar la singularidad y aplicar la regla trapezoidal o de Simpson con el valor $f(0)$ fijado arbitrariamente en $0$ o utilizar algo como la cuadratura gaussiana que no implica explícitamente el valor $f(0)$ . Sin embargo, la tasa de convergencia se degradará y seguramente no será $O(1/n^2)$ . Además, esto puede no funcionar bien si el integrando oscila, por ejemplo $f(x) = (1/x) \sin (1/x).$
Si el integrando es de la forma $x^{-1/2}f(x)$ , donde $f \in C([0,1])$ entonces se puede aplicar la transformación $s^2 = x$ y obtener una integral propia que sea susceptible de aproximación numérica:
$$\int_0^1 x^{-1/2}f(x) \, dx = 2\int_0^1 f(s^2) \, ds.$$
