Diferenciación escalar a lo largo de una geodésica

Question

Llevo un tiempo estudiando la RG y haciendo ejercicios de Schutz y tengo una duda sobre la diferenciación a lo largo de una geodésica. Esto es lo que sé. La ecuación de la geodésica en términos de cuatro momentos está dada como $$p^\alpha p^{\beta}_{;\alpha}$$ . Ahora bien, si quiero diferenciar un escalar a lo largo de la geodésica me imagino que tengo que hacer esto, $$\frac{d\phi}{d\tau}$$ Aquí, $\tau$ es el tiempo propio que es el parámetro a lo largo de la curva. El cambio del escalar $\phi$ a lo largo de la curva es igual a, $$\frac{d\phi}{d\tau}=\phi,_{\beta}U^\beta$$ Aquí, $U^\beta$ es la cuarta velocidad de la curva. Escribiendo esto en forma de derivada covariante creo que debería ser simplemente, $$\frac{d\phi}{d\tau}=\phi_{;\beta}U^\beta$$ Así que si un escalar (como un producto punto entre vectores) es constante a lo largo de la geodésica entonces creo que significa eso, $$\frac{d\phi}{d\tau}=0.$$ ¿Es esto correcto?

En la pregunta que intento resolver, la condición es que $p^\alpha\epsilon_\alpha=\text{constant}$ a lo largo de la geodésica. Estoy tratando de escribir la condición de lo que significa para proceder con el cálculo posterior.

Answer 1

Así que terminé tratando de resolver el problema, suponiendo que lo que expuse arriba es correcto. Expondré el problema aquí para que sirva de referencia, Demuestre que si un campo vectorial $\epsilon^\alpha$ satisface la ecuación de Killing, entonces $p^\alpha\epsilon_\alpha$ es constante a lo largo de la geodésica. Así que acabo de tomar la derivada covariante de $\phi$ como, $$\frac{d\phi}{d\tau}=U^\beta\phi_{;\beta}$$ y luego lo puse a cero. Aquí he definido $\phi = p^\alpha \epsilon_\alpha$ . Entonces básicamente se expande la derivada covariante de $\epsilon$ y llegó al punto (utilizando la ecuación de la geodésica $U^\alpha U^\beta_{;\alpha}=0$ ) donde se obtiene $U^\alpha U^\beta \epsilon_{\alpha,\beta}$ . Desde $\epsilon^\alpha$ se sabe que es un campo vectorial de Killing, entonces satisface la ecuación de Killing $\epsilon_{\alpha,\beta}=-\epsilon_{\beta,\alpha}$ lo que básicamente lo hace antisimétrico, de ahí que la suma $U^\alpha U^\beta \epsilon_{\alpha,\beta}$ es cero, lo que demuestra que $$\frac{d(p^\alpha\epsilon_\alpha)}{d\tau}=U^\beta(p^\alpha\epsilon_\alpha)_{;\beta}=0$$ .

Espero que esto tenga sentido. También revisé el manual de la solución (que sólo compruebo una vez que estoy fuera de todas las opciones para averiguarlo yo mismo) así es como se hace también.