Encuentra el número de reordenamientos de la cadena 123456 en los que no aparece ninguna de las secuencias 123, 321, 456 y 654.

Question

Mi intento:

Dejemos que $A_{1}$ indica el lugar donde se encuentra el 123, $A_{2}$ indica dónde se produce el 321, $A_{3}$ indica el lugar donde se encuentra el 456, y $A_{4}$ indica el lugar donde se encuentra el 654. También $|U|$ ¡=6!

$$\begin{aligned}|A_{1} &\cup A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4}|\\ &= |A_{1}|+|A_{2}|+|A_{3}|+|A_{4}|\\ &\quad -(|A_{1}A_{2}|+|A_{1}A_{3}|+|A_{1}A_{4}|+|A_{2}A_{3}|+|A_{2}A_{4}|+|A_{3}A_{4}|)\\ &\quad +|A_{1}A_{2}A_{3}|+|A_{1}A_{2}A_{4}|+|A_{1}A_{3}A_{4}|+|A_{2}A_{3}A_{4}|\\ &\quad-|A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}|\\ =& \ ? \end{aligned}$$

Entonces,

$$\begin{aligned}|A_{1}'A_{2}'A_{3}'A_{4}'|& =|U|-|A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4}|\\ &= 6!-? \end{aligned}$$

Estoy bastante seguro de que todo esto está mal. Por favor, ayúdenme con este problema. Gracias.

Answer 1

Su planteamiento está bastante bien.

Podemos mejorar un poco la legibilidad denotando los conjuntos $A_1,A_2,A_3,A_4$ con $$\begin{align*} A_{123},A_{321},A_{456},A_{654} \end{align*}$$ en su lugar. Aplicamos el _IEP y obtener \begin{align*} |A|&=6!-\left(|A_{123}|+|A_{321}|+|A_{456}|+|A_{654}|\right)\\ &\qquad+\left(|A_{123}\cap A_{456}|+|A_{123}\cap A_{654}|+|A_{321}\cap A_{456}|+|A_{321}\cap A\{654}|\right) \end{align*}

No tenemos que respetar más términos, ya que $$A_{123}\cap A_{321}=A_{456}\cap A_{654}=\emptyset$$

Desde $|A_{123}|=4!$ y $|A_{123}\cap A_{456}|=2!$ obtenemos debido a la simetría $$\begin{align*} \color{blue}{|A|}&=6!-4\cdot4!+4\cdot 2!\\ &=720-96+8\\ &=\color{blue}{632} \end{align*}$$