¿Es 0,123456789101112... racional o irracional?

Question

¿Es 0,123456789101112... racional o irracional? ¿Cómo lo demuestras? Creo que es irracional pero no estoy seguro de cómo puedo llegar a una contradicción. ¿Cómo se representa este número en serie?

Answer 1

La expansión decimal tiene rayas largas arbitrarias de 000⋯000 y 111⋯111, etc., por lo que no puede ser periódica. - Winther hace 1 hora

Y los números con expansiones decimales no periódicas son irracionales. Así que ese número es irracional.

Answer 2

COMENTARIO.- La desigualdad $$\left|\pi-\frac pq\right|\gt \frac{1}{q^{42}}$$ válido para todos los racionales $\dfrac pq$ con $q\ge2$ calificada por A. Baker como "desigualdad sorprendente" fue publicada por Mahler en 1953. Mahler también demostró que el número $0.1234567891011 ....$ cuya parte decimal sigue la secuencia de enteros naturales es trascendental. Lo que es irracional es casi obvio porque obviamente carece de cualquier punto.