Método del área entre dos curvas polares

Question

La pregunta no es demasiado difícil. Los he dibujado y han sido correctos, lo que no ha estado mal.

Luego hice la segunda parte encontrando los puntos de intersección entre las dos curvas que son $\frac{\pi}{3}$ y $\frac{5\pi}{3}$ .

Entonces me integré:

$$\int_{a}^{b} (r_o^2 - r_i^2)d\theta$$

$$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{3}} \frac{1}{2}((1-cos(\theta))^2 - (cos(\theta))^2) d\theta$$ y consiguió $\frac{2\pi}{3}$ + $\sqrt{3}$ como mi respuesta.

¿Es mi trabajo (y espero que mi respuesta...) correcto o he hecho algo mal?

Answer 1

Resolver $ 1- \cos \theta = \cos \theta, $ encontramos:

Límite superior $\pi/3 $ está bien, pero el límite inferior de $\theta $ debe ser simétrico a cero como $ -\pi/3$ . Si no, obtendrá la respuesta correcta. Tal vez debas revisar tu boceto.

Answer 2

Puede utilizar

$\displaystyle A=\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\frac{1}{2}\left((\cos\theta)^2-(1-\cos\theta)^2\right)d\theta=2\int_0^{\pi/3}\frac{1}{2}\left((\cos\theta)^2-(1-\cos\theta)^2\right)d\theta$

$\displaystyle\hspace{.16 in}=\int_0^{\pi/3}(2\cos\theta-1)\,d\theta$