Si $F_{1}$ es un subcampo de $F_{2}$ es $GL(N,F_{1})$ contenida en $GL(N,F_{2})$ ?

Question

Si $F_{1}$ es un subcampo de $F_{2}$ es $GL(N,F_{1})$ contenida en $GL(N,F_{2})$ ? Me interesa especialmente el caso de cuando $F_{1} =\mathbb{Q}(\omega)$ y $F_{2} = \mathbb{C}$ . Aquí $\omega$ es una raíz compleja de la unidad.

Answer 1

Para un campo $\mathbb{F}$ , $M(n, \mathbb{F})$ es el conjunto de $n\times n$ matrices con entradas en $\mathbb{F}$ y $GL(n, \mathbb{F}) \subset M(n, \mathbb{F})$ es el conjunto de $n\times n$ matrices invertibles con entradas en $\mathbb{F}$ .

Si $\mathbb{F}_1, \mathbb{F}_2$ son campos con $\mathbb{F}_1 \subseteq \mathbb{F}_2$ entonces $M(n, \mathbb{F}_1) \subseteq M(n, \mathbb{F}_2)$ porque cada $n\times n$ con entradas en $\mathbb{F}_1$ es un $n\times n$ con entradas en $\mathbb{F}_2$ (porque $\mathbb{F}_1 \subseteq \mathbb{F}_2$ ).

Ahora, si $A \in GL(n, \mathbb{F}_1)$ , hay $A^{-1} \in GL(n, \mathbb{F}_1)$ con $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ . Como $GL(n, \mathbb{F}_1) \subset M(n, \mathbb{F}_1) \subseteq M(n, \mathbb{F}_2)$ tenemos $A, A^{-1} \in M(n, \mathbb{F}_2)$ y $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ Así que $A \in GL(n, \mathbb{F}_2)$ . Por lo tanto, $GL(n, \mathbb{F}_1) \subseteq GL(n, \mathbb{F}_2)$ .