Demostrar que el límite de un polinomio de la derecha y de la izquierda existe, pero el límite del polinomio no existe.

Question

Supongamos que P es un polinomio y que P(a) > 0 para un valor real fijo a. Demostrar que P(x)/(x-a) se aproxima al infinito cuando x se aproxima a^{+}, P(x)/(x-a) se aproxima al infinito negativo cuando x se aproxima a^{-} pero el límite de P(x)/(x-a) no existe.

Nota: Tengo que demostrarlo a la manera del Análisis Real. Usando las definiciones. Intentaré utilizar estas definiciones. Definición 3.12: Sea a \epsilon R y f una función real. 1) Se dice que f(x) converge a L a medida que x se aproxima a a desde la derecha si y sólo si f está definida en algún intervalo abierto I con extremos izquierdos a y para cada \epsilon > 0 existe un \delta > 0 tal que a < x < a + \delta imlies |f(x) - L| < \epsilon. En este caso llamamos L al límite derecho de f en a. Análogamente es el límite izquierdo.

Definición cuando converge al infinito. 2) Se dice que la función f(x) converge al infinito cuando x se acerca a a si y sólo si existe un intervalo abierto I que contiene a tal que dado un real M, existe un delta > 0 tal que 0 < |x - a| < delta implica f(x) > M, en cuyo caso escribiremos f(x) se acerca al infinito cuando x se acerca a a. De forma análoga cuando converge a infinito negativo.

Así que tengo que mencionar delta, épsilon y M.

Me he quedado atascado. Por favor, ¿puede alguien ayudarme? Se lo agradecería mucho. Gracias. Creo que podemos utilizar si P es un polinomio, entonces el límite de P(x) a medida que x se acerca a a es igual a P(a).

Answer 1

Esquema: Dejemos que $P(a)=b\gt 0$ . Entonces, por la continuidad de $P(x)$ en $x=a$ existe un $\delta_1$ de manera que si $|x-a|\lt \delta_1$ entonces $|P(x)-b|\lt \frac{b}{2}$ . En particular, si $|x-a|\lt \delta_1$ tenemos $P(x)\gt \frac{b}{2}$ .

Queremos demostrar que para cualquier $M\gt 0$ existe un $\delta$ de manera que si $0\lt |x-a|\lt \delta$ entonces $\left|\frac{P(x)}{x-a}\right|\gt M$ .

Más adelante nos aseguraremos de que $\delta\le \delta_1$ . Entonces, si $0\lt |x-a|\lt \delta$ tenemos $\frac{P(x)}{|x-a|}\gt \frac{b}{2\delta}$ . Para hacer esto $\gt M$ es suficiente con tomar $\delta\le \frac{b}{2M}$ .

Poniendo las cosas en su sitio, queremos $\delta=\min\left(\delta_1, \frac{b}{2M}\right)$ .

Si $0\lt x-a\lt \delta$ entonces $\frac{P(x)}{x-a}$ es positivo y mayor que $M$ . De ello se desprende que $$\lim_{x\to a^+}\frac{P(x)}{x-a}=\infty.$$ Por las mismas desigualdades, si $x\lt a$ y $|x-a|\lt \delta$ entonces $\frac{P(x)}{x-a}$ es menor que $-M$ . De ello se desprende que $$\lim_{x\to a^-}\frac{P(x)}{x-a}=-\infty.$$