¿Es trascendental para todo entero $n > 1$ ln(n)?

Question

¿Es trascendental para todos los $\ln(n)$ $n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}$? ¿Que incluso se conoce la respuesta?

Answer 1

Sí, es trascendental para cualquier número algebraico positivo $\ln(\alpha)$, como un caso especial del Teorema de Lindemann – Weierstrass $\alpha \ne 1$

Answer 2

Tenga en cuenta que $x = \log{n} \implies e^x = n$ y es bien sabido que $e^x$ es trascendental si $x$ es algebraica y distinto de cero, que daría una contradicción si $x$ eran algebraica. Así que es trascendental para todos los $\log{n}$ $n \geq 2$.

Answer 3

A partir de la lista de conocidos trascendental números en el correspondiente artículo de la Wikipedia:

$\ln(a)$ si $a$ es algebraica y no es igual a $0$ o $1$

Así, en particular, $\ln(1)=0$ no es trascendente (aunque el número de $2\pi ik$$k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$, y estos números tienen el mismo derecho a ser llamado $\ln(1)$; esto es lo que se están refiriendo a que cuando se habla de una "rama de la función logaritmo"), sino $\ln(n)$ es trascendental para todos los $n\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\}$.

Answer 4

Lindemann demostró $e^α$ es trascendental para todos los no-cero algebraicas número $α$. Deje $n$ ser un número natural.

Suponga que $\log(n)$ es algebraico. Es distinto de cero si $n>1$. Así, por $n>1$, llegamos a la conclusión de que $e^{\log n}=n$ es trascendental. Contradicción.